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1、《偏微分方程教程》 第六章椭圆型方程1§1调和函数【知识点提示】Green公式，基本解，调和函数，调和函数的基本性质。【重、难点提示】利用Green公式导出基本积分公式，进而研究调和函数的基本性质。【教学目的】掌握调和函数的定义和性质。21.1. Green公式散度定理：设是维空间中以足够光滑的曲面所围成的有界连通区域,是曲面的外单位法向.若函数在闭区域上连续,在内有一阶的连续偏导数,则(1.1)其中表示曲面的外单位法向与轴的方向余弦,是上的面积元素.3Green公式的推导：设函数和在内有连续的二
2、阶偏导数.在公式(1.1)中令得到(1.2)(1.2)可改写成为(1.3)4若将(1.3)中的和互相对换,又得(1.4)我们把(1.3)与(1.4)都称作第一Green公式.若将(1.3)与(1.4)相减,则得(1.5)我们把(1.5)称为第二Green公式.1.2.调和函数与基本解定义6.1对于函数,如果它在维空间的有界区域内有直到二阶的连续偏导数,且在内满足Laplace方程：5(1.6)则称在区域内是调和函数.如果,则称在区域内是下调和(上调和)函数.如果是无界区域,则除上面的要求外,还应要求
3、当点趋于无穷远时,函数一致趋于零.即对于任意小的正数,存在正数,使当点与坐标原点的距离时,总有按照这个定义,有时我们把Laplace方程(1.6)也称作调和方程.调和方程的基本解我们仅考虑三维空间和二维空间的情形.6首先我们考虑三维的情形.用表示三维空间中的点改写三维空间的调和方程为球坐标形式.设球坐标变换为则(1.6)(取)可化为(1.7)由(1.7)可以看出,方程(1.6)的球对称解是满足以为自变量的常微分方程7其通解可写为这里是任意常数.所以函数,是一个球对称特解,从而推得在任一不包含点的区域
4、内是调和的,它在点处有奇性.称函数为三维Laplace方程(1.6)的基本解8注基本解在时关于或都是调和且无穷次可微.函数其次,考虑二维Laplace方程在极坐标变换下它可化为(1.8)二维Laplace方程的基本解定理6.1设函数在有界区域内二阶连续可微,在上连续且有连续的一阶偏导数,则当点时,有9(1.9)其中是边界曲面的外单位法向,是曲面上的面积单元,是体积单元.证以为中心为半径作球使表示该球的球面,于是在区域上,函数和都满足第二Green公式的条件,代入公式(1.5)得(1.10)因为在区域
5、内是调和函数,所以有.另外边界上任一点的外法线方向实际上是从该点沿着半径指向球心的方向,所以在上有10从而得到在上的积分为其中和分别是函数和在球面上的平均值.于是(1.10)可写成因为及在上连续，所以关于一致有界,且当时,有,11于是由上式即得定理证毕.今后,我们将公式(1.9)称为三维空间中的基本积分公式.定理6.2设函数在有界区域内二阶连续可微，在上连续且有连续的一阶偏导数，则当点时有(1.11)其中表示上的线元素,是上的面积元素.1.3.调和函数的基本性质性质6.1设是有界区域内的调和函数,且
6、在上有连续的一阶偏导数,则12(1.12)证利用第二Green公式,在(1.5)中取,取为所给的调和函数,由此性质可得出,Laplace方程的第二边就可得到(1.12).值问题有解的必要条件是函数满足性质6.2设是有界区域内的调和函数,且在闭区域上有连续的一阶偏导数,则在内的任一点处有13(1.13)证利用基本积分公式(1.9)即得.类似地,对于二维空间的情形,我们可以利用(1.11)得到(1.14)其中是平面上有界区域的边界.性质6.3(平均值定理)设是区域内的调和函数,是内的任一点以,为心为半径
7、作球只要球连同其边界包含在内,则有公式(1.15)14证将公式(1.13)应用于球面上,得到这里,故由性质6.1知上式右端第一项的积分值为零,在球面上的外法线方向与半径的方向一致,于是又因为所以有我们把调和函数的这一性质称为平均值定理,公式(1.15)15称为平均值公式,即调和函数在球心处的值等于它在球面上的平均值.注1对区域内的下调和(上调和)函数,我们有(1.17)性质6.4(强极值原理)假设不恒为常数的函数在有界区域,内调和且在上连续,则它在上的最大值和最小值只能在的边界上达到.证用反证法.假
8、设调和函数在上的最大值不在上达到,那么它必在内的某一点达到,记当然也是在上的最大值.16以为心为半径作球使完全包含于内,记的球面为,可以证明,在上有事实上,若函数在上某一点的值小于,则由连续性知,上必可找到此在球面点的一个充分小的邻域,在此邻域内有,于是在上成立不等式但由平均值公式(1.15),有这就发生了矛盾.所以在球面上,必须有17同理可证,在任一以为心,为半径的球面上,也有.因此,在整个球上,有下面证明对内的所有点,都有.为此在内任取一点,由于是区域,所以可用完
