【数学与应用数学专业】【毕业论文】线性微分方程（组）的求解及其若干应用

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1、（　20　届）本科毕业论文线性微分方程（组）的求解及其若干应用摘要：准确地理解和掌握线性微分方程(组)的理论及实际应用，是学好常微分方程及其在各方面广泛应用的基础，而其中掌握好线性微分方程(组)的解法是至关重要的．本文的主要目的是通过查阅大量的文献资料，整理出线性微分方程(组)的求解方法和若干应用，进而提高分析问题、解决问题的基本能力．本文首先介绍了常系数线性微分方程(组)的解法，再介绍了变数线性微分方程(组)的解法，最后对具体实际问题建立数学模型，并解决它．关键词：线性微分方程(组)；常（变）系数；（非）齐次TheSolutio

2、nsandApplicationsofLinearDifferentialEquationsAbstract：Toaccuratelyunderstandandgraspthetheoryandpracticalapplicationsoflineardifferentialequation(s)isthefoundationofordinarydifferentialequationwhichwidelyappliesinvariousaspects.Andgraspsthesolutionoflineardifferentia

3、lequation(s)isveryimportant.Thisarticle’smainpurposeisthroughtheconsultmassiveofliteraturematerial,reorganizingsolutionmethodsandseveralapplicationsoflineardifferentialequation(s),thenenhancingthebasicabilitytotheanalysisofissuesandsolutionoftheproblem.Firstthisarticl

4、eintroducesthesolutionofregularcoefficientsoflineardifferentialequation(s),seconditintroducesthesolutionofvariablecoefficientsoflineardifferentialequation(s),finallysolvemathematicalmodelofthespecificpracticalproblems.Keywords:Lineardifferentialequation(s);Regular(var

5、iable)coefficients;(Non)homogeneous　目录1引言11.1线性微分方程的背景及应用11.2本文主要结构22高阶常系数线性微分方程（组）32.1背景与概念32.2齐次方程的特征值法52.3非齐次方程的求解方法62.3.1常用解法62.3.2算子法92.3.3简化待定系数法112.3.4直接积分法132.4常系数线性微分方程组的求解方法153高阶变系数线性微分方程（组）163.1一般概念163.2基本解法173.2.1化为常系数法173.2.2常数变易法183.3几类特殊方程的解法183.3.1降阶法与

6、变量替换法183.3.2幂级数法203.3.3双变换法213.4变系数线性微分方程组的求解方法234线性微分方程（组）的若干应用254.1在物理方面的应用254.2在经济方面的应用265总结28致谢29参考文献301引言1.1线性微分方程的背景及应用由于常微分方程是诞生于运用数学分析方法解决物理与力学问题的过程中，是数学的一大分支，而线性微分方程又是一类特殊的常微分方程，是比较简单的一部分，但也是相当重要的一部分，主要是表现在数学的一些实际应用中有许多涉及到非线性微分方程（组）的问题，我们对它们通常是采用数学化归思想[1]中的线性

7、化的方法简化为线性微分方程（组）来求解的，这样就需要掌握好更多的理论以及解的结构．因此，在进一步学习线性微分方程的过程中，首先就应了解线性微分方程的背景及应用．在17世纪末开始，数学科学家们就已经通过对一些天体问题、摆的运动及弹性理论等问题的数学刻画引出了一系列线性常微分方程．例如在天文学上，一般星体都是通过观察得到的，而海王星的发现却是一个罕见的例外．牛顿根据微分方程进行研究天体运动，则从理论上得到行星运动的规律，而这些规律原本只是由开普勒通过观测归纳出的．到1690年雅各布·伯努利(JacobBernoulli,1654～17

8、05)起初还只是采用特殊的技巧来解决简单的微分方程，即解决了与钟摆运动有关的等时问题，以及悬链线问题，之后的雅各布·伯努利与约翰·伯努利兄弟还解决了许多类似的弹性问题，他们的工作推进了微分方程的发展．到19世纪早期，柯西给微分学注入了一种严格性的要