线性微分方程（组）的求解及若干应用开题报告

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1、开题报告线性微分方程（组）的求解及若干应用一、选题的背景、意义（所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势）常微分方程是一个重要的数学分支，而线性微分方程是一类特殊的常微分方程，但也是相当重要的一部分，因为在很多微分方程求解的过程中都需要转换成线性微分方程来求解．线性微分方程有着深刻而生动的实际背景，从17世纪末开始，对天体问题、摆的运动及弹性理论等问题的数学刻画引出一系列线性常微分方程．1690年雅各布·伯努利(JacobBernoulli,1654～1705)用简单的微分方程的方法解决了与钟摆运动有关的等时问题，以及悬链线问

2、题．之后的雅各布·伯努利与约翰·伯努利兄弟还解决了许多类似的弹性问题，他们的工作推进了微分方程的发展．线性微分方程还是理论联系实践的重要渠道之一，在物理、工程、力学、天文学、生物学、医学、经济学等诸多领域都有重要作用．如电子计算机与无线电装置的计算问题可归为微分方程求解；弹道计算与飞机飞行中的稳定性研究可归为线性微分方程的求解．目前，线性微分方程的实际背景广、应用性强的特点已受到广泛关注．许多国外教材和国内新版教材已在书中明确强调这一点，并在教材中编入实际应用的例子，希望通过大量的实际问题突出数学的应用，引导学生建立线性常微分方程

3、模型解决各种实际问题．在编写教材和教学的过程中有意识地渗透数学建模思想，一方面可以促使学生深刻领会数学建模思想、方法，逐渐掌握并在实践中应用这一思想，提高学生应用数学的能力；另一方面，教学目的从单纯强调知识、技能转向注重培养学生数学思维能力，应用数学的能力，也表明教学工作者教学观念、教学思想的转变，是时代进步的标志．线性微分方程（组）的求解及若干应用这一课题，许多数学家早已经展开过讨论，并做了很多相关的课题研究和论文，经阅读大量的资料，对他们的主要成果阐述如下：文献[1]-[4]主要是从线性微分方程能够解决实际问题出发，介绍了线性

4、微分方程的背景以及应用，表明其在物理、工程、力学、天文学、生物学、医学、经济学等诸多领域都有重要作用．并且通过对常微分方程的几个典型实例的分析，结合常微分方程基础理论、基本方法和数学软件的系统揭示该学科浸透数学建模思想，从而求解这些问题．文献[5]-[6]中主要是介绍线性微分方程（组）的简化思想，目的是为了在求解的过程中可以比较简便的解答．即我们可以将许多非线性微分方程的问题转换为线性微分方程，比如说非齐次方程问题化为齐次方程问题，一阶线性方程组化为一阶线性方程问题；还可以通过由高阶线性方程问题化为低阶线性方程问题．文献[7]-[

5、9]主要讨论关于高阶线性微分方程的直接解法，给出了一些特殊情形下的求解过程以及一些计算公式．特别是对二阶常（变）系数线性微分方程对的求解，运用直接积分法；而对于高阶常系数非齐次线性微分方程通解和特解，则利用叠加原理，运用简单的直接解法就可以求得其解．文献[10]-[11]主要讨论的是线性微分方程组的初等解法，于是，引进了向量和矩阵的记号，因此特别是对于高阶常系数非齐次线性微分方程组就可以转化为由若干个相互独立的高阶常系数非齐次线性微分方程所组成，其系数可以利用矩阵的形式表达出来，通过高阶常系数齐次线性微分方程的特征根法和非齐次方程

6、的待定系数法求该方程组的基本解组及特解，最后通过初等变换求原方程组的基本解组及特解，从而可求出其通解．文献[12]-[14]主要讨论几类变系数线性常微分方程组的求解，在学习线性微分方程（组）的时候，如何求解变系数的微分方程组就变得十分重要，在这里，我们主要阐述了一些求解方法，比如在运用刘维尔公式的基础上，能够求出此类方程；在借用双变换－未知函数的线性变换以及自变量的变换思想的作用下，可以把变系数线性常微分方程组化为简单易求的方程组．文献[15]是讨论Banach空间隐式常微分方程的解的存在性定理，在给出隐式常微分方程的条件下，运用

7、Ascoli-Arzelap定理进行证明其解的存在，从而使得结果比以往有更大的改进．文献[16]（第四章）主要是讨论了线性系统的一般理论，从复数域上进行研究，在矩阵、向量的形式下，运用分解，凯莱-哈密尔顿分解定理等，同时求出了的解得存在性以及唯一性问题．不仅如此，还证明了一些重要的理论，进而计算一些较复杂的问题．文献[17]在数学学习方面是一部重要的工具书，书中收集了大约1650个常微分方程（组）的解和其解法的提示，还给出了许多重要的结果,以便在计算中能更好的应用．内容主要分为第一部分：一般解法，第二部分：边值问题和特征值问题,第

8、三部分：各种微分方程．总而言之，线性微分方程（组）是一类非常重要的常微分方程（组），在很多情况下，对于求解非线性微分方程（组），我们都需要把它转化为线性，因为这样可以方便求解．因此，本文着重介绍了几类特殊的线性微分方程（组）的求解方法，同时找寻一定