线性方程组的求解方法及应用开题报告　

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1、开题报告线性方程组的求解方法及应用　一、选题的背景、意义（所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势）线性方程组求解在中国历史久矣。对线性方程组的研究，中国比欧洲至少早1500年，记载在公元初《九章算术》方程章中。现在中学讲授的线性方程组的解法和《九章算术》介绍的方法大体相同。在科学计算中的许多问题，例如，电学中的网络问题，船体放样中的样条函数计算，实验数据的曲线拟合以及微分方程的差分方法或有限元方法求解等问题，最终都归结为求解线性代数方程组。现行高等代数教材只用行初等变换来解线性方程组，存在一定的局限性。本文主要讨论了解线性方程组的直接法中的Gauss消元法，以及行初等变换、克莱

2、姆法则、标准上三角形求解法等。对于不同类型的问题，线性方程组的求解方法不尽相同。同时方程组存在解的个数的问题及线性方程组是否存在零解，如在实践中遇到的线性方程组，它的方程个数未必等于未知量个数，即使方程个数等于未知量个数，也未必有唯一解，有可能无解或有无穷多解。这就需要我们去根据相关问题去探究。马克思曾经说过“一门科学只有成功地应用数学时，才算达到了完善的地步”。随着科学技术的进步，数学已迅速渗透到各门学科之中，因而能强烈感受到数学的重要性。而应用数学中很多用到了线性代数的相关知识，而本选题涉及的线性方程组知识尤为重要，在实际生活的数学应用中，对所需目标进行确定，接着进一步明确一些决

3、策中的关键因素，即而确立线性方程组，进而对此方程求解。因而求线性方程组解是线性代数中的精髓部分，恰当地使用方法，可以使计算过程比较简洁，避免了迂回复杂的计算。二、研究的基本内容与拟解决的主要问题也许会觉得解线性方程组会很容易，但事实上想要彻彻底底的完整得出方程组的解是非常不容易的。若要正确完整得出方程解，首先要具备一定的线性代数的知识，其次要分析对于什么样类型，采用什么样的方法去解决更便捷、更有效。5对于不同类型的问题，线性方程组解法的适用就至关重要。同时方程组存在解的个数的问题及线性方程组是否存在零解，如在实践中遇到的线性方程组，它的方程个数未必等于未知量个数，即使方程个数等于未知

4、量个数，也未必有唯一解，有可能无解或有无穷多解。这就需要我们去根据相关问题去探究。本报告主要涉及到一些方程求解的方法，比如初等行变换、回代法、高斯消元法、标准上三角形法等。同时还介绍了线性方程组在以下几方面的应用，在几何方面求点到平面的方程，空间中向量相关性的判别方法。2.1线性方程组的一些性质线性方程组即一次方程组。线性方程组有一般形式、矩阵形式、向量形式。含个方程，个未知量的线性方程组的一般形式为：表示未知量，称系数项，称常数项。将方程组的系数组成矩阵来计算方程的解称为系数矩阵，在系数矩阵的右边添上一列，这一列是线性方程组的等号右边的值形成了增广矩阵。线性方程组也可以用矩阵表示。

5、型线性方程组可表示为，称为线性方程组的系数矩阵；为线性方程组的增广矩阵；方程组的解是使矩阵等式成立的维向量。在矩阵形式下，对增广矩阵作初等变换不改变方程组的解。如矩阵和是行初等变换下等价的矩阵，即存在可逆矩阵，使，则线性方程组是等价的线性方程组。线性方程组也可以用向量表示。设矩阵是线性方程组的系数矩阵，用记的第列，即则型线性方程组可表示为方程组的解等价于列向量的线性组合；方程组的解就是列向量线性组合的组合系数。同时也可利用该形式下的系数矩阵和增广矩阵来研究该方程组解的形式。如矩阵的秩是元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件；系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩是元非齐次线性方程组有解的充分必

6、要条件；是5元非齐次线性方程组唯一解的充分必要条件。2.2求线性方程组解的方法2.2.1初等变换法初等变换满足以下三种矩阵变换：（1）对换矩阵的两行（列）（2）用非零数矩阵乘矩阵的某一行（列）（3）把矩阵某一行（列）的倍加到另一行（列）上去用消元法解线性方程组就是对增广矩阵施行一系列初等行变换。2.2.2克莱姆法则克莱姆法则定义：含个方程，个未知量的线性方程组的一般形式为：（*）当其系数行列式时，有唯一解：，其中。2.2.3回代法有三种运算可得到一个等价的方程组：（i)交换任意两个方程的顺序。(ii)任一方程两边同乘一个非零的实数。(iii)任一方程的倍数加到另一方程上。对给定的方程

7、组，可以使用这些运算得到一个容易求解的等价方程组。若的方程组仅有一个解，则利用上面的运算(i)和运算(iii)可得到一个等价的“5严格三角形方程组”。然后从第个方程组解的，将其代入第个方程解得，将和的值代入到第个方程解得，以此类推，此法即为回代法。2.2.4高斯消元法先对系数矩阵进行消元，再将化为为三角形式，确定分解，可通过下述两步求解：第1步:前代。方程可写为形如令，可得因此，可以通过求解下三角方程组求得：由第一个方程可得。这个值可用于从第二个方程中求解