矩阵逆的推广及应用文献综述

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1、文献综述矩阵逆的推广及应用　　　　　　　　　　　　　　　一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主题争论焦点）矩阵理论在数值计算、线性规划、数据分析、科学实验、信号传输等重大领域有着极其广泛的应用。随着科技日异月新的进步，人类社会开始步入信息化、数字化时代，矩阵在生活实践中的应用越来越广泛，矩阵理论的研究也就越来越重要。在生产实践和科学实验中，人们经常碰到一类线性系统：，（1）其中，，，。当时，该方程组有解，且时，有唯一解，时，有无穷多组解，当时，该方程组无解。无解的线性方程组好像是最为乏味并且没有实际意义。但事实相反，在某些实际问题中，

2、如数据处理、多元分析、最优化理论、现代控制理论、网络理论等学科中，所遇到的方程组往往是不相容方程组，没有一个能使方程精确相等。因此在实际应用中，需要找一个，使得尽可能的逼近，如何去找这样的？为了解决这一问题，数学家们做了大量的工作。高斯最先引入了最小二乘法，并从统计方面证明它的合理性。所谓最小二乘，就是找出一个，使得系统的残差的2范数最小，即。如何计算最小二乘问题，成了一个重要的课题。但人们总希望能像可逆时那样显式地写出其解的表达式，为适应这种需要，广义逆应运而生。由文献的结果，我们知道了广义逆的确是逆矩阵的推广，本文首先对矩阵的广义逆进行定义、分类，然后详细讨论

3、每一类广义逆矩阵的性质及其求解方法，其中包括减号逆的性质与求解，自反减号逆的性质与求解以及加号逆的唯一性证明与求解。通过对每一类广义逆矩阵的求解方法的研究，最后探讨矩阵的广义逆在解线性方程组中的应用。二、主题部分（阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问题的评述）1903年，Fredholm最早提出了广义逆的概念，他给出了Fredholm积分算子的广义逆，并称为“伪逆”，1920年，在《美国数学通报》上，Moore首先提出了矩阵的广义逆，他利用投影矩阵定理定义了矩阵唯一的Moore广义逆，即：设，则满足，(2)的矩阵称为矩阵的广义逆，记作，其中分别是上

4、的正交投影算子。在这之后的30多年中，广义逆很少被人注意，直到1955年，英国学者Penrose在《剑桥哲学学会学报》上发表了《广义逆矩阵》论文，以非常简单、直观的形式叙述了广义逆矩阵满足的四个条件（也称Penrose条件）：设，则满足(3)的矩阵称为矩阵的广义逆（其中）。可以证明，以上两个广义逆的定义是等价的。为了纪念E.H.Moore和R.Penrose对广义逆研究所作的贡献，人们称这唯一的矩阵广义逆为Moore-Penrose广义逆，简称M-P逆，记为。在M-P逆的基础上，又衍生了其他许多类型的广义逆，设是上面（3）式中{1,2,3,4}的非空子集合，则所有

5、满足中条件的矩阵集合称为的逆。若，则的逆通常称为减号逆，记为或。若，则的逆通常称为自反广义逆，记为或,若，则的逆通常称为最小二乘广义逆，记作。若，则的逆通常称为极小范数广义逆，记为。M-P逆及其所衍生出的上述类型的广义逆彻底地解决了线性系统：的求解问题。2.1几种常用的广义逆矩阵的性质及求解方法2.1.1减号逆的性质与求解1．减号逆的定义：定义2.1.1对，若满足，则称为的{1}-逆（或称为的逆），记为（或）。2．减号逆的性质：定理2.1.1设，，则有（1）；(2)，其中(3)；（4）都是幂等阵，且满足。3．减号逆的求解对于任意的矩阵,它的减号逆是存在的但不唯一，

6、这一结论在文献上已有证明或进行了说明。接下来我们介绍一种常用的求的公式：1）设矩阵的秩为，且的左上角的阶子块为满秩，即其中的行列式，则有（4）将上式直接代入（4）式验证即可。2）若矩阵的秩为，但其左上角的阶子块不满秩。这时若有初等列变换（为相应的初等矩阵）使得,而的左上角阶子块为满秩的，则有再由即可求得（5）这意味着，当的左上角无满秩的阶子块时，需先对实行某种列变换，使其左上角阶子块变为满秩的，再由（5）式对施行相同的初等变换行变换，即可得到。同理，对先做行变换变形，再作相应的列变换还原，也可得到。2.1.2自反广义逆的性质与求解众所周知，对于普通的逆矩阵，有，但

7、这一事实对于减号逆一般不成立，例如：但即，为了使与能互为减号逆，我们不妨对前面的定义的减号逆给予某种限制条件，使具有这种“自反”的性质。1．自反广义逆的定义定义2.1.2设，若存在，使则称为的自反广义逆矩阵，记为，即，这时与互为自反广义逆矩阵。早在50年代，统计学家C.R.Rao就对半正定方阵使用了这种广义逆。2．自反广义逆的性质显然，自反广义逆是减号逆的一个子集，于是它具有前面讨论过减号逆的所有性质。定理2.1.2设，且均为的广义逆矩阵，即则（6）为的自反广义逆矩阵。定理2.1.3设是的广义逆矩阵，则是的自反广义逆的充要条件是.3．自反广义逆的求解对于任意的矩阵

8、,它的自反