矩阵逆的推广及应用开题报告

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1、开题报告矩阵逆的推广及应用一、选题的背景、意义（所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势）1．选题的背景Moore.E.H是公认的研究广义逆矩阵的第一人，他在美国数学会1920年一个会议报告的摘要中，对任意矩阵定义了广义逆，当时他称之为generalreciprocal。Moore关于广义逆的较详细结果发表在Moore(1935)的著名论文中。于是，许多学者通常把1935年作为广义逆研究的起点。在这篇论文中，对任意矩阵，Moore用下面两个矩阵方程，(1)来定义广义逆，这里分别是上的正交投影算子。在这之后的20多年中，人们对广义逆的研究并未给予应有的重视。到了二十世纪50年代，一

2、些学者开始注意到广义逆矩阵的最小二乘性质。Bjerhammar（1951a,1951b）在不知道Moore结果的情况下，重新提出了广义逆矩阵的概念（他称之为reciprocalmatrix），并注意到了广义逆与线性方程组解的关系。Bott和Duffin(1953)在研究电网理论时，引进了一种后来被称为Bott-Duffin广义逆的逆矩阵。当时他们称为约束逆（constrainedinverse）。但这时期的研究工作缺少一般性，零散而不系统。在广义逆研究中，一个重要的里程碑是Penrose（1955）的著名论文。在这篇文章中，Penrose以非常简单、直观的形式叙述了广义逆矩阵满足的四

3、个条件（也称Penrose条件）：设，则满足(2)的矩阵称为矩阵的广义逆（其中），并证明了（2）式的解是唯一的。他还建立了（2）式的第一方程的解与方程组解的联系。Penrose的这项工作在广义逆的研究中起着十分重要的作用，它使广义逆这一概念获得再生。从此以后，学者们对广义逆的研究倾注了前所未有的兴趣。在此后短短10余年中，发表了数百篇关于广义逆的研究论文。这包括Greville（1957），Bjerhammar（1957,1958）,Ben-Israel和Charnes(1963)，Chipman（1964），Scroggs和Odell（1966）等。在这期间，Erdelyi(196

4、7)引进了群逆，而Drazin于1958年引进了另一种广义逆，他称之为pseudoinverse，现在通称为Drazin逆。在广义逆研究的这一高峰时期，统计学家的研究工作占了相当的分量。Rao（1955,1962,1966,1967）和Mitra(1968a，1968b)研究了{1}-逆结构表示和不唯一性，并把他们应用于统计参数估计理论，特别是线性模型和方差分析估计与检验问题。现在广义逆矩阵已经成为数理统计的许多分支不可缺少的有效工具，参见王松桂（1987），wang和chow(1994)。1968年3月，在美国Texas举行了广义逆矩阵的专题学术会议，并出版了会议文集，见Boull

5、ion和odell(1968)。后来，分别于1973年和1976年举行了关于这一课题的讨论班和区域性会议，并出版有文集，分别见Nashed(1976)和Campbell（1982）。Ben-Israel(1966)，Stewart（1969），Wedin（1973）和何旭初（1979）研究了广义逆矩阵的扰动和连续性问题，他们建立了连续性的条件。在二十世纪70年代前后，一些关于广义逆矩阵及其应用的专著陆续问世，其中主要有Rao和Mitra（1971），Boullion和Odell（1971），Ben-Israel和Greville(1974)。这些著作广泛收集和系统总结了散见在各种刊物

6、中关于广义逆的理论、方法和应用的许多重要结果，并在一定程度上规范了许多常用的术语和记号。我们知道，矩阵是现代自然科学、工程技术乃至社会科学许多领域的一个不可缺少的数学工具，因此广义逆矩阵的应用也相当广泛。可以这样说，凡是用到矩阵的地方，都有可能用到广义逆。Nashed（1976）和Campbell(1982)介绍或综述了广义逆在许多方面的应用，其中包括数理统计、数学规划、数值分析、控制论、博弈论和计量经济等，部分内容的详细讨论可以再Rao和Mitria(1971)以及Ben-Israle和Greville(1974)中找到。现在，广义逆矩阵已广泛应用于人工智能与模式识别、信息安全、图

7、像恢复、现代控制论、概率统计、网络定理、测绘学等方面。环上矩阵的广义逆是揭示环的代数结构的有力工具。国内，以庄瓦金、陈建龙、屠伯勋、曹重光为代表的众多学者已经作了大量的研究，得到了除环、主理想环、正则环、一般结合环等环上矩阵广义逆的一系列结果。最近，陈焕艮、刘晓冀、岑建苗等人在这方面又做了进一步的工作，得到了环上矩阵广义逆存在的新的充要条件及性质，从而推广了以往文献的相应结果。国外，在环上矩阵广义逆的研究方面，K.P.S.Rao、R.Bapat、D.Rob