高中数学第四章4.2复数的四则运算构造复数求一类函数的值域素材

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1、构造复数求一类函数的值域对于形如的函数值域问题，一般用数形结合方法求解，学生只是简单的记忆结论，并没有从理论上真正理解，在教学实践中，笔者认为利用构造复数的方法求解，既简单，学生又易于理解，不失为一个好的方法。例1、求函数y=的最小值以及取得最小值时x的值。XYOABP[解析]先将所给函数变形得，建立复平面如图示，设P对应复数为z,A对应复数为1+2i,B对应复数为2-3i,从而原题转化为求y=

2、z-1-2i

3、+

4、z-2+3i

5、的最小值。又y=

6、z-1-2i

7、+

8、z-2+3i

9、=

10、z-1-2i

11、+

12、（-1）（z-2+3i

13、

14、z-1-2i-z+2-3i

15、=

16、1-5i

17、=,等号

18、成立的条件是、同向共线，此时容易求得x=例2、求函数y=的最大值以及取得最大值时x的值。OYXABP[解析]先将所给函数变形得，建立复平面如图示，设P对应复数为z,A对应复数为1+2i,B对应复数为2+3i,从而原题转化为求y=

19、z-1-2i

20、+

21、z-2-3i

22、的最大值。又y=

23、z-1-2i

24、-

25、z-2-3i

26、=

27、z-1-2i

28、-

29、（-1）（z-2-3i

30、

31、z-1-2i-z+2+3i

32、=

33、1+i

34、=，等号成立的条件是、异向共线，此时容易求得x=-1说明：利用此种方法还可以求三个根号和的最值问题。例3、三个村庄A、B、C，AC=1,BC=,AB=2.先要建一个水站向三个村庄供

35、水，问如何选址可以使铺设管道的长度最短？xO(C)yABZ[解析]三个村庄的距离符合勾股定理，故可以CB、CA所在直线为轴建立复平面，设水站位置为Z，对应的复数为z,则所需铺设的管道长d=

36、z

37、+

38、z-i

39、+

40、z-

41、=

42、z

43、+

44、(z-i)

45、+

46、(z-)

47、=

48、=,其中，等号成立的条件当且仅当z、(z-i)、(z-)同向共线，即时成立，此时d的最小值为。2说明：本题应用了1++=0这一性质。2