高中数学第四章4.2复数的四则运算数形结合巧解复数题素材

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1、数形结合巧解复数题xy···1－1－1CAB数形结合，不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的思维方法，它在中学数学中占有重要的地位，在高考数学试题中是重点考查、运用的数学思想方法之一．数形结合思想方法有助于概念的相互转化，从而利用数形的辨证统一和各自的优势尽快寻觅出解题途径，使初看很难或很繁的数学问题变得容易和简单．数形结合是一种典型的数学信息转换，它具有直观性、灵活性、深刻性和综合性的特点．因此，数形结合是一把“双刃剑”，特别对解选择题或填空题是一条重要的捷径．由于复数的多种表示形式都有确定的几何意义，因此，对于

2、复数问题，如能剖析其中的几何背景，将抽象的数学语言和直观的图形结合起来，就能借助几何图形，活跃解题思路，使解题过程简单化．下面介绍几例．例1设复数z满足

3、z＋

4、＋

5、z－

6、=2，求

7、z＋＋1

8、的最小值．解：由题设知，复数z在复平面内对应的点集是线段AB，如图所示，线段AB上B点到C点距离最短．∵

9、BC

10、=1，∴

11、z＋＋1

12、的最小值为1．评析：在分析问题和解决问题时，要注意解析语言的意义及运用，要掌握图形语言、符号语言及文字语言的互化，自觉地由“形”到“数”与由“形”变“数”地运用数形结合的思维方法．xy11－1－1ACB例

13、2设

14、z

15、=1，z≠－1，求证是纯虚数．证明：在单位圆上取A、B两点，使得=1，且z==cos＋．以、为邻边作平行四边形，由向量加、减法的几何意义知=1＋z，=z－1．由菱形性质知⊥，故是纯虚数．评析：此例可以设z=a＋b求解，但有一定的运算量，如借助图形的直观性，解题过程得到简化．2·x···y211·－1－1C·DBA···例3已知复数z=2＋()，求

16、z＋1－

17、＋

18、z－1＋

19、的最小值．解：∵

20、z＋1－

21、＋

22、z－1＋

23、=

24、z－(－1＋)

25、＋

26、z－(1－)

27、，设z=－1＋，z=1－在复平面上对应的点分别为A(－1，1)

28、，B(1，－1)．z=2＋在直线：x=2上，B点关于直线的对称点为C(3，－1)，连AC，交于D，则

29、z＋1－

30、＋

31、z－1＋

32、的最小值为：

33、BD

34、＋

35、AD

36、=

37、AC

38、=．xyB···DCA··1(0，3)(－3，3)(－6，0)－3例4已知复数z满足z＋3=r(cos＋)，求

39、z＋3－3

40、＋

41、z－3

42、的最小值．解：∵

43、z＋3－3

44、＋

45、z－3

46、=

47、z－(－3＋3)

48、＋

49、z－3

50、，设z=－3＋3，z=3在复平面上对应的点分别为A(－3，3)，B(0，3)．z＋3=r(cos＋)表明z的对应点在图中的直线上，于是问题变成：在直

51、线上确定一点D，使得

52、DA

53、＋

54、DB

55、是上的点，且到点A、B距离之和的最小值，并求出最小值．易求出点A(－3，3)关于直线的对称点为C(－6，0)，此时

56、DA

57、=

58、DC

59、．由图一4，当B、D、C三点共线时，

60、DA

61、＋

62、DB

63、最小，最小值是

64、CB

65、==．∴

66、z＋3－3

67、＋

68、z－3

69、的最小值为．评析：有些表达式容易化为“形”，比如例3和例4中的欲求的结论，实际上是一动点到两个定点距离和问题．就是说，由于复数的模长都有明显的几何背景，它们等都是很容易转化成“形”的，因此题目中涉及到这些问题时，可以用数形结合法来解决．2