高中数学第四章4.2复数的四则运算赏析复数中的数学思想素材

《高中数学第四章4.2复数的四则运算赏析复数中的数学思想素材》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、赏析复数中的数学思想　　数学思想方法是数学科的灵魂，它反映在数学教学内容里面，体现在解决问题的过程之中，它是将知识转化为能力的桥梁。只有运用数学思想方法，才能把数学知识和技能转化为分析问题和解决问题的能力.复数在过去几年里一直是代数的重要内容之一，涉及的知识面广，对能力要求较高，是高考热点之一．而随着新教材对复数知识的淡化，高考试题比例下降，但由于复数问题的自身特点，它又是运用数学思想方法较多的题型．本文通过实例介绍几种常用的数学思想方法在复数中的应用．1.整体思想整体处理，就是在处理问题时，利用问题中的整体与部分的关系，通过整体代入、整体运算、整体消元、整本合并等方

2、法，常可以简化运算过程，提高解题速度，并从中感受到整体思维的和谐美.例1.　设复数z和它的共轭复数满足，求复数的值．分析：充分利用共轭复数性质，复数的模的意义，复数相等的充要条件即可解出.在求解过程中，整体代入可获得简捷、明快、别具一格的解法.解：设，将化为．由，整体代入，得，．根据复数相等的充要条件，解得解得故．2.化归思想将复数问题化归为实数，或将其转化为平面直角坐标系下的轨迹问题，就可降低解题难度，简化解题过程．反过来，有时将实数、几何问题、三角题化归为复数问题，也可使问题迎刃而解．例2.已知复数z满足

3、z-3-5i

4、=1,复数u满足

5、u-1

6、+

7、u-5

8、=4，

9、求

10、z-u

11、的最值.　　解:椭圆

12、u-1

13、+

14、u-5

15、=4的中心坐标是(3,0).a=2,c=2,b=4.　　故椭圆的直角坐标方程为对此进行参数化,令3　　(θ为参数)　　点(,)到圆心(3,5)的距离为:==.　　当sinθ＝－1及sinθ＝1时分别得出d的最大值与最小值：dmax＝9，dmin＝1．　　所以

16、z－u

17、的最大值为9＋1＝10，最小值为1－1＝0．　　3.分类讨论思想　　分类讨论是一种重要的解题策略和方法，在复数中它能使复杂的问题简单化，从而化整为零，各个击破．高考复数考题中经常用到这种分类讨论思想方法．例3.设a≥0,在复数集C中，解方程：z＋2

18、z

19、

20、＝a.分析:由已知z＋2

21、z

22、＝a和

23、z

24、∈R可以得到z∈R，即对z分实数、纯虚数两种情况进行讨论求解。解:∵

25、z

26、∈R，由z＋2

27、z

28、＝a得：z∈R；∴z为实数或纯虚数当z∈R时，

29、z

30、＋2

31、z

32、＝a,解得：

33、z

34、＝－1＋∴z＝±(－1＋)；当z为纯虚数时，设z＝±yｉ(y>0)，∴－y＋2y＝a解得：y＝1±（0≤a≤1）由上可得，z＝±(－1＋)或±(1±)ｉ点评:本题用标准解法（设z＝x＋yｉ再代入原式得到一个方程组，再解方程组）过程十分繁难，而挖掘隐含，对z分两类讨论则简化了数学问题。4.利用复数的几何意义例4.向量表示的复数为3＋2i，将向量向上平移3个

35、单位长度，再向左平移2个单位长度，将得到向量为，分别写出：①向量对应的复数，②点o'对应的复数，③向量对应的复数．3分析:①根据复数向量表示的意义及平移知识，一个复数对应的向量在平面内平移，只要不改变方向和模的长，它们表示同一个复数，而模长不变，方向与原来相反，则对应的复数是原向量对应的复数的相反数．②要善于用复数的几何意义去解题，应在深刻理解复数运算式

36、z-z1

37、,

38、z-z2

39、等的几何意义的基础上，学会运用它．解:如图所示，O为原点，点A的坐标为（3,2），向上平移3个单位长度再向左平移2个单位后，点O’的坐标为（-2,3)．点A’的坐标为(1,5)，坐标平移不改变

40、的方向和模．5.数形结合思想　　由于复数的多种表示形式都有确定的几何意义，对于复数问题，如能剖析问题中的几何背景，将抽象的数学语言和直观的图形结合起来，就能借助几何图形，活跃解题思路，使解题过程简化．　例5.求a的取值范围．分析:利用数形结合法解题．解:∵集合A,B在复平面内对应的点集是两个圆面，点评:利用复数的几何意义，结合几何图形的性质和曲线的性质能解决复数与几何方面的问题．　综上所述，在复数学习过程中重视数学思想方法的渗透，可以深化学生对基础知识的理解，进一步完善学生的知识结构，优化思维品质，提高学生分析问题，解决问题能力，提高学生的数学素养。3