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《高中数学第四章数系的扩充与复数的引入42复数的四则运算赏析复数中的数学思想素》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、赏析复数中的数学思想数学思想方法是数学科的灵魂，它反映在数学教学内容里面，体现在解决问题的过程Z屮，它是将知识转化为能力的桥梁。只有运用数学思想方法，才能把数学知识和技能转化为分析问题和解决问题的能力.复数在过去儿年里一直是代数的重要内容0—，涉及的知识面广，对能力要求较高，是高考热点z—.而随着新教材对复数知识的淡化，高考试题比例下降，但由于复数问题的自身特点，它乂是运用数学思想方法较多的题型.本文通过实例介绍几种常用的数学思想方法在复数中的应用.1.整体思想整体处理，就是在处理问题时，利用问题中的整体与部分的关系，通过整体代入、整体运算、整体消元、整本合
2、并等方法，常可以简化运算过程，提高解题速度，并从中感受到整体思维的和谐美.例1.设复数Z和它的共辘复数7满足4z+2z=3x/3+z,求复数z的值.分析：充分利用共馳复数性质，复数的模的意义，复数相等的充要条件即可解出•在求解过程中，整体代入可获得简捷、明快、别具一格的解法.解：15：z=«+bi{a,beR),扌各4z+2z=3/^+i化为2z+(2z+2z)=3V^+j.由2z+2z=2(d+bi)+2(d-bZ)=4a,整体代入，得2z+4a=3/^+i,3x/3-4da=根据复数相等的充要条件，解得2/?=-,2解得2•化归思想将复数问题化归为实
3、数，或将其转化为平面直角坐标系下的轨迹问题，就可降低解题难度，简化解题过程.反过來，有时将实数、几何问题、三角题化归为复数问题，也可使问题迎刃而解.例2.已知复数z满足
4、z-3-5i
5、=1,复数u满足
6、u-l
7、+
8、u-5
9、=4V5,求Iz-u
10、的最值.解：椭圆
11、u-l
12、+1u-51=4a/5的中心坐标是(3,0).a二2循，c二2,b=4.故椭圆的直角坐标方程为写L+話二I,对此进行参数化,令(o为参数)兀=3+2y[5cos0y=4sin&点(3+2j^cos&,4sin&)到圆心(3,5)的距离为:d=J(2辰os0)2+(4sin&-5)2=7-4si
13、n2^-40sin^+45二J-4(sin&+5尸+145.当sin0=—1及sin0=1时分别得出d的最大值与最小值：dmax=9,dmin=l.所以
14、z-u
15、的最大值为9+1=10,最小值为1—1=0.3.分类讨论思想分类讨论是一种重要的解题策略和方法，在复数屮它能使复杂的问题简单化，从而化整为零，各个击破.高考复数考题中经常用到这种分类讨论思想方法.例3.设a>0,在复数集C中，解方程：z2+2
16、z
17、=a・分析：由已知异+2
18、z
19、=a和
20、z
21、GR可以得到z2ER,即对z分实数、纯虚数两种情况进行讨论求解。解：T
22、z
23、GR,由z2+2
24、z
25、=a得：z2^
26、R；z为实数或纯虚数当zWR时，
27、z
28、2+21z
29、=a,解得：
30、z
31、=—1+J1+Qz=±(—1+J1+d)；当z为纯虚数时，设z=±yi(y>0),・；—y2+2y=a解得:y=l±—a(0WaWl)由上可得，z=±(—1+Jl+d)或±(1±Jl-°)i点评:本题用标准解法(设z=x+yi再代入原式得到一个方程组，再解方程组)过程十分繁难，而挖掘隐含，对z分两类讨论则简化了数学问题。3.利用复数的几何意义例4.向量0A表示的复数为3+2i,将向量OA向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，将得到向量为丽，分别写出：①向量丽对应的复数，②点。'对应的
32、复数，③向量丽对应的复数.分析：①根据复数向量表示的意义及平移知识，一个复数对应的向量在平面内平移，只要不改变方向和模的长，它们表示同一个复数，而模长不变，方向与原来相反，则对应的复数是原向量对应的复数的相反数.②要善于用复数的儿何意义去解题，应在深刻理解复数运算式
33、z-Zl
34、,
35、z-z2
36、等的儿何意义的基础上，学会运用它.解：如图所示，0为原点，点A的坐标为(3,2),向上平移3个单位长度再向左平移2个单位后，点0的坐标为(-2,3).点A'的坐标为(1,5),坐标平移不改变0A的方向和模.①向量础，对应的复数为3+2i;②点0,对应的复数为-2+3i;③
37、向量”方对应的复数为-3-2L5.数形结合思想由于复数的多种表示形式都有确定的几何意义，对于复数问题，如能剖析问题中的几何背景，将抽象的数学语言和直观的图形结合起来，就能借助几何图形，活跃解题思路，使解题过程简化.例5.设Zi=l4-2ai,Z2=a-i(aeR),已知-4={z11z-ziW/T),B={z
38、3=0，求a的取值范围.分析:利用数形结合法解题.解：•・•集合A,B在复平面内对应的点集是两个圆面,又4G3=0,.•・这两个圆外离，因此
39、ZLZ2I>3/T,即I(1+2ai)-(a-i)
40、>3,r2~.解之得ae(-<®,-2)U+8).点评
41、:利用复数的儿何意义，结合儿何图形的性质和曲线的性质
