数系的扩充与复数的引入

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1、泰兴市二高2017年秋学期高二数学期末复习讲义（五）复数数系的扩充与复数的引入导学目标：1.理解复数的基本概念.2.理解复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示法及其几何意义.4.会进行复数代数形式的四则运算.5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．自主梳理1．数系的扩充数系扩充的脉络是：________→________→________，用集合符号表示为____⊆____⊆____，实际上前者是后者的真子集．2．复数的有关概念(1)复数的概念形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的______和______．若______，则a＋bi为实数，若__

2、____，则a＋bi为虚数，若____________，则a＋bi为纯虚数．(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔__________(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔__________(a，b，c，d∈R)．(4)复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．______叫做实轴，________叫做虚轴．实轴上的点表示______；除原点外，虚轴上的点都表示________；各象限内的点都表示__________．复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以________为起点的向量组成的集合也是一一对应的

3、．(5)复数的模向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作________或________，即

4、z

5、＝

6、a＋bi

7、＝________.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝____________；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝____________；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝____________；④除法：＝＝＝______________________________________________________

8、_____(c＋di≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝________，(z1＋z2)＋z3＝______________.自我检测1．复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点在第________象限．2．设复数z满足(1＋i)z＝2，其中i为虚数单位，则z＝________.3．复数z＝1＋i，为z的共轭复数，则z－z－1＝________.4．复数＝________.5．设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是________.6泰兴市二高2017年秋学期高二数学期末复习讲

9、义（五）复数探究点一　复数的基本概念例1　设m∈R，复数z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i)．(1)若z为实数，则m＝________；(2)若z为纯虚数，则m＝________.变式迁移1　已知复数z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求实数a分别取什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．探究点二　复数的运算例2　计算：(1)；(2)＋2012＋.变式迁移2　计算：(1)；(2)；(3)＋.探究点三　复数的几何意义例3　如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：(1)所表示的复数，所表示的复数；(2)

10、对角线所表示的复数；(3)求B点对应的复数．变式迁移36泰兴市二高2017年秋学期高二数学期末复习讲义（五）复数(1).复数z1＝3＋4i，z2＝0，z3＝c＋(2c－6)i在复平面内对应的点分别为A，B，C，若∠BAC是钝角，则实数c的取值范围为____________________．(2)若

11、z－1

12、＝

13、z＋1

14、，则

15、z－1

16、的最小值是________________．2．乘法法则：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；除法法则：＝＝＋i(c＋di≠0)．特别地：(a±bi)2＝a2±2abi－b2＝a2－b2±2abi，(a＋bi)(a－bi)＝

17、a2＋b2.3．进行复数运算时，熟记以下结果有助于简化运算过程：(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)；(2)(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝i，＝－i.一、填空题1．若z＝，则复数＝________.2．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数为________．3．若θ∈(，)，则复数(cosθ＋sinθ)＋(sinθ－cosθ)i在复平面内所对应的点在