高中数学第四章数系的扩充与复数的引入42复数的四则运算复数与几何素材北师大

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1、复数与几何复数与几何有着非常密切的关系，复数a+bi(a、bER)与复平面内的点P(a、b)及向止是一一对应的，这就为建立复数与几何的相互关系奠定了基础，为数形结合解决复数问题提供了依据，复数加、减、乘法的几何意义，又为用复数求解几何问题提供了依据。复数与儿何这一课题，有很丰富的内容，对培养和提高综合应用数学知识和方法分析、解决问题的能力，开拓解题思路是十分有益的。一、复数运算的几何意义复数加法和减法的几何意义是向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则。由这一意义可知：d二

2、ZZ

3、=

4、z2Z」表示复平面上两点间的距离。这是一个十分重要

5、而有用的结论。例1、复数z#0,点A、B分别对应复数刁和(1-i)z,求证：AOAB是等腰直角三角形。证明:V

6、OA

7、=

8、z

9、IOB

10、=

11、(1-i)z

12、=V2

13、z

14、

15、AB

16、=

17、(1-1)z-z

18、=

19、-zi

20、=

21、zI・

22、OA

23、=

24、AB

25、,且

26、OB

27、2=

28、OA

29、2+

30、AB

31、27求二的值即AOAB是等腰直角三角形例2、(全国高考题)Z1>z2ec,

32、zi

33、=5,

34、zi-z2

35、=7,简答如下：易知0、Zi>Z?构成如图三角形C0S/z2+~72x3x5.sinZZiOZ2=±(cosZZ.OZ.+isinZ.OZ,)-—102•Z]_3•z

36、25二、复数与区域当复数Z的实部、虚部、模、辐角分别在一定范围内取值时，所对应的点Z会在复平面上形成一定区域，反之，根据点Z在复平面上的区域，也可确定以上某个量的取值范围。例3、已知Zi满足

37、z+3-V3i1=5/3,求

38、z

39、与argz的取值范围，并求出使

40、z

41、与argz取得最大值和最小值的复数z。简答：rh方程Iz+3--/3il=V3表示的图形(如图)易知:

42、0B

43、W

44、z

45、W

46、0A

47、,兀一ZPOQWatgzW开由此不难算出:V3W

48、z

49、W3a/3,—兀WargzW兀2V3I时，222argz取最小值一兀3当z=zq=-3时，arg

50、z取最大值兀当z=za=-—+—V3T时,22且当Z=Zp=-说明：在此题的解决上,图形的直观性起到了十分明显的任用O3例4、设熨数刁满足Z+-ER,且2W^+3W4,-2求复数Z在复平面上对应的点Z组成的图形。33解：由z+-WR知z+-2z整理得5-心(1-—即亍二Z或

51、z

52、=V3设7二x+yi（x、yWR）则y二0或x2+y2=33y二0时，z=x,由于Cz+—W4zX解得lWxW3此时点Z组成的图形是线段ABo如图3当x2+y2=3时，由2Wz+—W4z解得1WxW2点Z组成的图形是一段圆弧，如图三、复数与平面几何例5、在正方形

53、ABCD中，作ZEAB=15*且AE二AC。证明：如图建立复平而，设AB=1,0、1、1+i、iVZEAB=15",AE=AC,ZCAB=45-Ze=zc[cos]-30)+isin(-30)求证：BE/7AC则A、B、C、D分别对应复数V3+1V3-1.11ZZ“—3+13-1―3-1BE:zc-z（FH1T二+ZXBE=arg（zi：-ZB）=45'=ZBAC・・・BE〃AC说明：两复数之差的辐角可显示连接两点的向量方向，此题的关键是通过证明arg（ze~zb）=arg（zc-zA）而证得BE〃AC。类似题目还有如高中代数课本（必修

54、）下册217页第15题：利用复数证明余弦定理等。四、复数与解析儿何由于复数和复平面上点集间的一一对应关系，当复数的实、虚部是一对实变量，即复数也成为变量时，其所对应的点就成为动点，即可形成一定的轨迹，因此，复数也是研究平面曲线的重要方法。例6、写出下列曲线的复数形式的方法。①以点A（x】、yj、B（X2、y2）为端点的线段AB的中垂线方程；②以点C（a、b）为圆心，r为半径的圆；③以码、2（土c、0）为焦点，长轴长2a（a>c>0）的椭圆；④以Fi、2（土c、0）为焦点，长轴长2a（a>c>0）的椭圆。解：①

55、z-（xi+yii）

56、=

57、

58、z-（X2+Y2i）I②

59、z-（a+bi）

60、=r③

61、z~c

62、+

63、z~c

64、=2a④

65、

66、z+c

67、Tz-c

68、=2a说明：用复数形式写出曲线的方程不仅是可能的，而且具有简单、清晰的优点，它与直z2-2pz+q=0有两个虚根zi、刁2,又设乙为焦点，且经过原点的椭圆的长轴之长。角坐标方程F（z、y）二0表示曲线的方法相辅相成，可以互相转化。例7、（84年全国高考题）设pHO,实系数方程Zl、Z2在复平面上对应的点是Z】、Z2,求以乙、解：由条件△二（-2p）2-4q<0得q>p2>0由于zi、Z2共辘,知点Zi、Z2关于X轴对称，故椭圆短轴在X轴

69、上,且原点是短轴一个端点，可得：短轴长2b=

70、Z1+Z21=21p

71、焦距2c二IZ1-Z2

72、二J（Z]+Z?）2_4Z]Z2长轴长2a=2y/b2+c~=2舫叫q-p，7例&己知Xec,——为纯虚数，求z在