高中数学 数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.1.2复数的几何意义学案

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1、3.1.2　复数的几何意义学习目标　1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．知识点一　复平面建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．知识点二　复数的几何意义知识点三　复数的模复数z＝a＋bi(a，b∈R)，对应的向量为，则向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作

2、z

3、或

4、a＋bi

5、.由模的定义可知：

6、z

7、＝

8、a＋bi

9、＝r＝(r≥0，r∈R)．1

10、．在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．(　√　)2．在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．(　×　)3．若

11、z1

12、＝

13、z2

14、，则z1＝z2.(　×　)类型一　复数与复平面内的点的关系例1　实数x分别取什么值时，复数z＝(x2＋x－6)＋(x2－2x－15)i对应的点Z在：(1)第三象限；(2)直线x－y－3＝0上．考点　复数的几何意义题点　复数与点对应的关系解　因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数．(1)当实数x满足即当－3

15、－6，x2－2x－15)，当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，即当x＝－2时，点Z在直线x－y－3＝0上．引申探究　若本例中的条件不变，其对应的点在：(1)虚轴上；(2)第四象限．解　(1)当实数x满足x2＋x－6＝0，即当x＝－3或2时，点Z在虚轴上．(2)当实数x满足即当2

16、(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i(m∈R)的对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数z.考点　复数的几何意义题点　复数与点对应的关系解　若复数z的对应点在虚轴上，则m2－m－2＝0，所以m＝－1或m＝2，所以z＝6i或z＝0.若复数z的对应点在实轴负半轴上，则所以m＝1，所以z＝－2.类型二　复数的模例2　设z为复数，且

17、z

18、＝

19、z＋1

20、＝1，求

21、z－1

22、的值．考点　复数的模的定义与应用题点　利用定义求复数的模解　设z＝a＋bi(a，b∈R)．∵z＋1＝(a＋1)＋bi，且

23、z

24、＝

25、z＋1

26、＝1，∴即即解得∴

27、z－1

28、＝

29、(a＋bi)－1

30、

31、＝＝＝.反思与感悟　利用模的定义将复数模的条件转化为其实部、虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想．跟踪训练2　已知0

32、z

33、的取值范围是(　　)A．(1，)B．(1，)C．(1,3)D．(1,10)考点　复数的模的定义与应用题点　利用定义求复数的模答案　A解析　0

34、z

35、＝∈(1，)．类型三　复数与复平面内的向量的关系例3　(1)向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是(　　)A．－10＋8iB．10－8iC．0D．10＋8i

36、(2)设O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是(　　)A．－5＋5iB．－5－5iC．5＋5iD．5－5i考点　复数的几何意义题点　复数与向量的对应关系答案　(1)C　(2)D解析　(1)由复数的几何意义，可得＝(5，－4)，＝(－5,4)，所以＋＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以＋对应的复数为0.(2)由复数的几何意义，得＝(2，－3)，＝(－3,2)，＝－＝(2，－3)－(－3,2)＝(5，－5)．所以对应的复数是5－5i.反思与感悟　(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在

37、原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．跟踪训练3　在复平面内，O是原点，向量对应的复数为2＋i，若点A关于实轴的对称点为点B，则向量对应的复数为________．考点　复数的几何意义题点　复数与向量的对应关系答案　2－i解析　复数2＋i表示的点A(2,1)关于实轴对称的点为B(2，－1)，∴对应的复数为2－i.1．当

38、m－2)＋(m－1)i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点　复数的几何意义题点　复数与点