2018年高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念学案

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1、3.1.1　数系的扩充和复数的概念学习目标：1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程．(重点)2.理解复数的概念、表示法及相关概念．(重点)3.掌握复数的分类及复数相等的充要条件．(重点、易混点)[自主预习·探新知]1．复数的概念：z＝a＋bi(a，b∈R)全体复数所构成的集合C＝{a＋bi

2、a，b∈R}，叫做复数集．2．复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.3．复数的分类z＝a＋bi(a，b∈R)思考：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存

3、在怎样的关系？[提示][基础自测]1．思考辨析(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．(　　)(2)复数i的实部不存在，虚部为0.(　　)(3)bi是纯虚数．(　　)(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．复数i－2的虚部是(　　)【导学号：48662114】A．i　　　　　　　B．－2C．1D．2C　[i－2＝－2＋i，因此虚部是1.]3．如果(x＋y)i＝x－1，则实数x，y的值分别为(　)A．x＝1，

4、y＝－1B．x＝0，y＝－1C．x＝1，y＝0D．x＝0，y＝0A　[∵(x＋y)i＝x－1，∴∴x＝1，y＝－1.]4．在下列数中，属于虚数的是__________，属于纯虚数的是________.【导学号：48662115】0,1＋i，πi，＋2i，－i，i.1＋i，πi，＋2i，－i，i　πi，i　[根据虚数的概念知：1＋i，πi，＋2i，－i，i都是虚数；由纯虚数的概念知：πi，i都是纯虚数．][合作探究·攻重难]复数的概念及分类　(1)给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1

5、虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为(　　)A．0　　　　　　B．1C．2D．3(2)实数x分别取什么值时，复数z＝＋(x2－2x－15)i是①实数？②虚数？③纯虚数？【导学号：48662116】(1)[解析]　(1)对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－1＜0，所以①为假命题；对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，所以②为假命题；对于③，2i＝0＋2i，其实部是0，所以③为真命题．[答案]　B(2)①当x满足即x＝5时，z是实数．②当x满足即x

6、≠－3且x≠5时，z是虚数．③当x满足即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．[规律方法]　复数分类的关键(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式.求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)时应先转化形式.(2)注意分清复数分类中的条件设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则①z为实数⇔b＝0，②z为虚数⇔b≠0，③z为纯虚数⇔a＝0，b≠0.④z＝0⇔a＝0，且b＝0.[跟踪训练]1．(1)若复数z＝a2－3＋2ai的实

7、部与虚部互为相反数，则实数a的值为________________．(2)实数k为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是①实数；②虚数；③纯虚数；④零．(1)1或－3　[由条件知a2－3＋2a＝0，∴a＝1或a＝－3.](2)由z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i.①当k2－5k－6＝0时，z∈R，即k＝6或k＝－1.②当k2－5k－6≠0时，z是虚数，即k≠6且k≠－1.③当时，z是纯虚数，解得k＝4.④当时，z＝

8、0，解得k＝－1.复数相等的充要条件[探究问题]1．由3>2能否推出3＋i>2＋i？两个实数能比较大小，那么两个复数能比较大小吗？提示：由3>2不能推出3＋i>2＋i，当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小．2．若复数z＝a＋bi>0，则实数a，b满足什么条件？提示：若复数z＝a＋bi>0，则实数a，b满足a>0，且b＝0.　(1)若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i<0，则实数m的值等于_______．(2)已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0

9、有实数根，求实数m的值.【导学号：48662117】思路探究　(1)等价转化为虚部为零，且实部小于零；(2)根据复数相等的充要条件求解．(1)－3　[(1)∵z<0，∴，∴m＝－3.](2)设a是原方程的实根，则a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0，即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0＋0i，所以a2＋a＋3m＝0且2a＋1＝0，所以a＝－且－＋3m＝0，所以m＝.母题探究：1.若x＝1是方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0的实数根，求复数m的值．[解]　由题意可知，1