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时间:2019-11-16
《2018年秋高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念学案新人教A版选修.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.1.1 数系的扩充和复数的概念学习目标:1.了解引进虚数单位i的必要性,了解数集的扩充过程.(重点)2.理解复数的概念、表示法及相关概念.(重点)3.掌握复数的分类及复数相等的充要条件.(重点、易混点)[自主预习·探新知]1.复数的概念:z=a+bi(a,b∈R)全体复数所构成的集合C={a+bi
2、a,b∈R},叫做复数集.2.复数相等的充要条件设a,b,c,d都是实数,那么a+bi=c+di⇔a=c且b=d.3.复数的分类z=a+bi(a,b∈R)思考:复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系?[提示][基础自测]1.思考辨
3、析(1)若a,b为实数,则z=a+bi为虚数.( )(2)复数i的实部不存在,虚部为0.( )(3)bi是纯虚数.( )(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,那么这两个复数相等.( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2.复数i-2的虚部是( )【导学号:48662114】A.i B.-2C.1D.2C [i-2=-2+i,因此虚部是1.]3.如果(x+y)i=x-1,则实数x,y的值分别为( )A.x=1,y=-1B.x=0,y=-1C.x=1,y=0D.x=0,y=0A [∵(x+y)i=x
4、-1,∴∴x=1,y=-1.]4.在下列数中,属于虚数的是__________,属于纯虚数的是________.【导学号:48662115】0,1+i,πi,+2i,-i,i.1+i,πi,+2i,-i,i πi,i [根据虚数的概念知:1+i,πi,+2i,-i,i都是虚数;由纯虚数的概念知:πi,i都是纯虚数.][合作探究·攻重难]复数的概念及分类 (1)给出下列三个命题:①若z∈C,则z2≥0;②2i-1虚部是2i;③2i的实部是0.其中真命题的个数为( )A.0 B.1C.2D.3(2)实数x分别取什么值时,复数z=+(
5、x2-2x-15)i是①实数?②虚数?③纯虚数?【导学号:48662116】(1)[解析] (1)对于①,当z∈R时,z2≥0成立,否则不成立,如z=i,z2=-1<0,所以①为假命题;对于②,2i-1=-1+2i,其虚部为2,不是2i,所以②为假命题;对于③,2i=0+2i,其实部是0,所以③为真命题.[答案] B(2)①当x满足即x=5时,z是实数.②当x满足即x≠-3且x≠5时,z是虚数.③当x满足即x=-2或x=3时,z是纯虚数.[规律方法] 复数分类的关键(1)利用复数的代数形式,对复数进行分类,关键是根据分类标准列出实部、虚部应
6、满足的关系式.求解参数时,注意考虑问题要全面,当条件不满足代数形式z=a+bi(a,b∈R)时应先转化形式.(2)注意分清复数分类中的条件设复数z=a+bi(a,b∈R),则①z为实数⇔b=0,②z为虚数⇔b≠0,③z为纯虚数⇔a=0,b≠0.④z=0⇔a=0,且b=0.[跟踪训练]1.(1)若复数z=a2-3+2ai的实部与虚部互为相反数,则实数a的值为________________.(2)实数k为何值时,复数(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)分别是①实数;②虚数;③纯虚数;④零.(1)1或-3 [由条件知a2-3+2a=
7、0,∴a=1或a=-3.](2)由z=(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i.①当k2-5k-6=0时,z∈R,即k=6或k=-1.②当k2-5k-6≠0时,z是虚数,即k≠6且k≠-1.③当时,z是纯虚数,解得k=4.④当时,z=0,解得k=-1.复数相等的充要条件[探究问题]1.由3>2能否推出3+i>2+i?两个实数能比较大小,那么两个复数能比较大小吗?提示:由3>2不能推出3+i>2+i,当两个复数都是实数时,可以比较大小,当两个复数不全是实数时,不能比较大小.2.若复数z=a+bi
8、>0,则实数a,b满足什么条件?提示:若复数z=a+bi>0,则实数a,b满足a>0,且b=0. (1)若复数z=(m+1)+(m2-9)i<0,则实数m的值等于_______.(2)已知关于x的方程x2+(1-2i)x+(3m-i)=0有实数根,求实数m的值.【导学号:48662117】思路探究 (1)等价转化为虚部为零,且实部小于零;(2)根据复数相等的充要条件求解.(1)-3 [(1)∵z<0,∴,∴m=-3.](2)设a是原方程的实根,则a2+(1-2i)a+(3m-i)=0,即(a2+a+3m)-(2a+1)i=0+0i,所以a2
9、+a+3m=0且2a+1=0,所以a=-且-+3m=0,所以m=.母题探究:1.若x=1是方程x2+(1-2i)x+(3m-i)=0的实数根,求复数m的值.[解] 由题意可知,1
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