高中数学第三章数系的扩充和复数的引入3.1数系的扩充与复数的概念3.1.2复数的几何意义讲义.docx

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1、3．1.2　复数的几何意义1．复平面的相关概念如图，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)．2．复数的向量表示如图，在复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量是由点Z唯一确定的；反过来，点Z(相应与原点来说)也可以由向量唯一确定．复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z＝a＋bi平面向量.这是复数的另一种几

2、何意义，并且规定相等的向量表示同一个复数．3．向量的模的定义公式向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作

3、z

4、或

5、a＋bi

6、.如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模等于

7、a

8、(就是a的绝对值)．由模的定义可知：

9、z

10、＝

11、a＋bi

12、＝r＝(r≥0，r∈R)．复数的向量表示(1)任何一个复数z＝a＋bi与复平面内一点Z(a，b)对应，而任一点Z(a，b)又可以与以原点为起点，点Z(a，b)为终点的向量对应，这些对应都是一一对应，即(2)这种对应关系架起了联系复数与解析几何的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结

13、合法)，增加了解决复数问题的途径．讨论复数的运算性质和应用时，可以在复平面内，用向量方法进行．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．(　　)(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．(　　)(3)复数的模一定是正实数．(　　)答案　(1)√　(2)×　(3)×2．做一做(1)若＝(0，－3)，则对应的复数为________．(2)复数z＝1－4i位于复平面上的第________象限．(3)复数i的模是________．答案　(1)－3i　(2)四　(3)探究　　复平面内复数与点的对应例1　在复平面

14、内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围．[解]　复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m－2，虚部为m2－3m＋2.(1)由题意得m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1.(2)由题意得∴∴－1

15、m2－8m＋7＝0.拓展提升复数集与复平面内所有的点所成的集合之间存在着一一对应关系．每一个复数都对应着一个有序实数对，复数的实部对应着有序实数对的横坐标，而虚部则对应着有序实数对的纵坐标，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．【跟踪训练1】　实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i.(1)对应的点在x轴上方；(2)对应的点在直线x＋y＋4＝0上．解　(1)由m2－2m－15>0，得m<－3或m>5，所以当m<－3或m>5时，复数z对应的点在x轴上方．(2)由(m2＋5m＋6)＋(

16、m2－2m－15)＋4＝0，得m＝1或m＝－，所以当m＝1或m＝－时，复数z对应的点在直线x＋y＋4＝0上．探究　　复平面内复数与向量的对应例2　已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0,3＋2i，－2＋4i，试求：(1)表示的复数；(2)表示的复数；(3)点B对应的复数．[解]　(1)∵＝0－(3＋2i)＝－3－2i，∴表示的复数为－3－2i.(2)∵＝(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.∴表示的复数为5－2i.(3)∵＝＋，∴表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即点B对应的复数为1＋6i.拓展提升复数与平面向量一

17、一对应是复数的另一个几何意义，利用这个几何意义，复数问题可以转化为平面向量来解决，平面向量问题也可以用复数方法来求解．【跟踪训练2】　(1)复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，则向量表示的复数是________；(2)在复平面内，O为原点，向量对应复数为－1＋2i，点A关于直线y＝－x对称点为B，则向量对应复数为________．答案　(1)－6－8i　(2)－2＋i解析　(1)因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，所以＝(4,3)，＝(－2，－5)，又＝－＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，所以向量表示的复数是－6－8i.(2)点A(

18、－1,2)关于直线y＝－x对称点为B是(－2,1)，所以＝－2＋i