4.2复数的运算

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1、第四章数系的扩充___复数4.2复数的运算1.对虚数单位i的规定①i2=-1;②i可以与实数一起进行四则运算,并且加、乘法运算律不变.练习.根据对虚数单位i的规定把下列运算的结果都化为a+bi（a、bR）的形式.3(2+i)=；(3-i)i=；i=；-5=；0=；2-i=.6+3i1+3i0+i-5+0i0+0i2+(-1)i2.我们把形如a+bi(其中)的数a、bR称为复数,记作：z=a+bi，其中a叫做复数的、b叫做复数的.全体复数集记为.z实部z虚部C有时把实部记成为Re(z);虚部记成为Im(z).3.由于i2=

2、=-1，知i为-1的一个、-1的另一个;一般地，a(a>0)的平方根为、(-i)2平方根平方根为-i-a(a>0)的平方根为4.复数z=a+bi(a、bR)实数小数(b=0)有理数无理数分数正分数负分数零不循环小数虚数(b0)特别的当a=0时纯虚数a=0是z=a+bi(a、bR)为纯虚数的条件.必要但不充分5.两个复数相等设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、dR),则z1=z2,即实部等于实部,虚部等于虚部.特别地，a+bi=0.a=b=0注意:一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.显然,

3、实数集R是复数集C的真子集,即RC.思考:对于任意的两个复数到底能否比较大小?答案:当且仅当两个复数都是实数时,才能比较大小.即:若z1>z2z1,z2∈R且z1>z2.复数的四则运算复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将i21结合到实际运算过程中去。1.复数加减法的运算法则：(1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di,那么z1+z2=(a+c)+(b+d)i;z1-z2=(a-c)+(b-d)i.即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).(2)复数的加

4、法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).例1.计算解:2.复数的乘法与除法(1)复数乘法的法则复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但必须在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部合并.两个复数的积仍然是一个复数,即:(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(bc+ad)i.(2)复数乘法的运算定理复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.即对任何z1,z2,z3有z1z2=z2z1;(z1z2)z3=z1

5、(z2z3);z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.实数集R中正整数指数的运算律,在复数集C中仍然成立.即对z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=z1nz2n.(3)复数的除法法则先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式(分母实数化).即(5)共轭复数的乘除性质:(4)复数的一个重要性质两个共轭复数z,z的积是一个实数,这个实数等于每一个复数的模的平方,即zz=

6、z

7、2=

8、z

9、2.①如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n

10、+2=-1;i4n+3=-i.(事实上可以把它推广到n∈Z.②设,则有:事实上,与统称为1的立方虚根,而且对于,也有类似于上面的三个等式.③(6)一些常用的计算结果例2.计算解:例3.计算解: