高中数学第三章推理与证明3.4反证法的关键是导出矛盾素材

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1、反证法的关键是导出矛盾应用反证法有如下三个步骤：（1）反设——假定原命题的结论不成立，即肯定原命题的反面；（2）归谬——根据反设和题给条件，进行严密的推理，直到得出矛盾，即或与已知条件相矛盾，或与已知的公理、定义、定理、性质、公式等矛盾，或与反设矛盾，或推出自相矛盾的结论，或甚至与正常生活中的事实矛盾，等等；（3）结论——肯定原命题正确．一、导出与已知条件相矛盾例1　如图，在中，，线段平面，平面，为垂足，求证：不可能是的垂心．分析：一般对于结论为“不可能”类的问题多采用反证法来证明．证明：假设为的垂

2、心．连结并延长交于，连结并延长交于．因为为的垂心，所以，．因为平面，所以．因为与交于，所以平面，所以．因为平面，所以．又，所以平面．因为平面，所以，这与已知相矛盾．所以，不可能是的垂心．二、导出与已知的公理、定义、定理、性质、公式相矛盾例2　已知，求证：．分析：本例直接证明困难，考虑使用反证法．证明：假设成立，则两边同时平方，得，由已知，得，由，得，所以，这与已知三角函数的性质矛盾．故假设不成立，原不等式成立．点评：对于直接证明较困难的题目，若采用反证法，则相当于增加了一个“条件”（即假设），因而降

3、低了推理的难度．三、导出与“反设”矛盾2例3　已知，，试判断实数，的大小关系，并证明你的结论．解：．用反证法证明．假设，则，．所以，，，即，．因为和都为减函数，且，．所以，，这与矛盾．所以．四、导出自相矛盾例4　已知，，，求证：，，不能都大于．证明：假设，，都大于．因为，，，所以，，都是正数．，同理，．三式相加，得，即，矛盾．所以，，，不能都大于．点评：遇结论为否定形式的命题，常常采用反证法．本例在证明过程中，借助平均不等式并融入整体思想来导出矛盾．2