高中数学第三章推理与证明3.4趣谈反证法素材

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1、趣谈反证法一、“道旁苦李”的故事我们不妨先看一个故事：王戎小时候，和小朋友在路上玩耍。一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，并说李子是苦的。等到朋友们摘了李子一尝，果然是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。”这就是“道旁苦李”的故事。实质上王戎的论述，正是运用了反证法，我们不妨把这则故事改编成象几何题目中的“已知、求证、证明”再和反证法的步骤进行对比，大家就明白了。已知：道旁树上有

2、李，求证：道旁树上的李为苦李证明：假设道旁树上的李不苦，则早被路人摘光，这与“路边的一棵树上结满了李子”的事实相矛盾，由矛盾判定假设不正确，从而肯定“道旁树上的李为苦李”的结论正确二、知识要点1、反证法定义：要证明某一结论A是正确的，但不直接证明，而是先去证明A的反面（非A）是错误的，从而断定A是正确的即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法象这种“为了说明某一个结论是正确的，但不从正面直接说明，而是通过说明它的反面是错误的，从而断定它本身是正确的方法”，就叫做“反

3、证法“.2、反证法的步骤：(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立(2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确3、注意：可能出现矛盾四种情况：①与题设矛盾；②与反设矛盾；③与公理、定理矛盾④在证明过程中，推出自相矛盾的结论34、需要说明的三点是：一是反证法适用于证明一些用直接证法比较困难的命题；二是使用时，第一步是“假设命题的结论不成立”，亦可理解成假命题结论的反面成立。但此时，要考虑结论的反面可能出现的情况。如果结论的反面只有一种情况，那么只须否定这种情况就足

4、以证明原结论是正确的；如果结论的反面不止一种情况，那么必须把各种可能情况全部列举出来，并且一一加以否定后，才能肯定原结论是正确的；三是步骤第二步“从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾”其中的矛盾，可以是和已知矛盾，也可以和定义、公理、定理、性质等矛盾，这样都足以说明假设错误，原命题正确。三、例题讲解类型一：反证法在平面几何中的应用例1．已知：如图AB⊥EF于M。CD⊥EF于N。求证：AB∥CD证明:假设AB,CD不平行，即AB,CD交于点P，则过P点有AB⊥EF，且CD⊥EF，与“过直线外一点，有且只有一条直线垂直于

5、已知直线”矛盾。∴假设错误，则AB∥CD。例2．用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.证明：假设弦AB、CD被P平分，由于P点一定不是圆心O，连结OP，根据垂径定理的推论，有OP⊥AB，OP⊥CD，即过点P有两条直线与OP都垂直，这与垂线性质矛盾.∴弦AB、CD不被P平分.例3.求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角已知：∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三个内角。求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个钝角。证明：假

6、如∠A，∠B，∠C中有两个钝角，不妨设∠A>900，º且∠B>900，则∠A+∠B+∠C>1800。这与三角形和定理矛盾。故∠A，∠B均大于900不成立。所以，一个三角形不可能有两个钝角。类型二：反证法在代数中的应用例4.用反证法证明：如果a>b>0，那么.证明：假设不大于，则或者<,或者=.∵a>0，b>0，3∴<<，<，ab>0矛盾，∴.例5．若a2能被2整除，a是整数，求证：a也能被2整除.证明：假设a不能被2整除，则a必为奇数，故可令a=2m+1(m为整数),由此得a2=(2

7、m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1,此结果表明a2是奇数，这与题中的已知条件（a2能被2整除）相矛盾,∴a能被2整除.例6.用反证法证明：若、、，且，，，则、、中至少有一个不小于0证明：假设、、均小于0，即：----①；----②；----③；①+②+③得，这与矛盾，则假设不成立，∴、、中至少有一个不小于03