高中数学第三章推理与证明3.4精析反证法素材.doc

《高中数学第三章推理与证明3.4精析反证法素材.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、精析反证法反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得．具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明．反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”．在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说

2、“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”．反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假．再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真．所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的．反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”．即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否

3、定之否定”．应用反证法证明的主要三步是：否定结论→推导出矛盾→结论成立．实施的具体步骤是：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立．在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法．用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”．一般来讲，反证法常用来证明的题型

4、有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显.具体、简单的命题;或者直接证明难以下手的命题,改变其思维方向,从结论入手进行反面思考,问题可能解决得十分干脆.典型例题分析例若下列方程：x＋4ax－4a＋3＝0，x＋(a－1)x＋a＝0,x＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根．试求实数a的取值范围．【分析】三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均没有实根．先求出反面情况时a的范围，再所得范围的补集就是正面情况的答案．【解】设三个方程均无实根，则有2,解得,即－

5、≥－1或a≤－时，三个方程至少有一个方程有实根．【注】“至少”、“至多”问题经常从反面考虑，有可能使情况变得简单．本题还用到了“判别式法”、“补集法”（全集R），也可以从正面直接求解，即分别求出三个方程有实根时（△≥0）a的取值范围，再将三个范围并起来，即求集合的并集．两种解法，要求对不等式解集的交、并、补概念和运算理解透彻．2