高中数学第三章推理与证明3.4反证法在解题中的应用素材

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1、反证法在解题中的应用反证法是一种间接证法.它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后从这个假设出发,经过正确的推理,导致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯定原命题正确的方法。运用反证法，不仅能培养学生的数学思维能力,而且能提高学生的分析与解题能力，本文结合典型例题介绍适宜用反证法证明的三类问题。一、当命题的结论涉及“至多有一个”“至少一个”时可考虑用反证法基本思想所谓“至多有一个”就是指的“只有一个”或“没有”，它的相反的情形应是“有两个”或“更多”；所谓“至少有一个”就是“有一个”或“更多”，它的相反的情形应是“没有”，这时候适合采用反证法思想。例1已知三个关于的方程：

2、，，中至少有一个方程有实数根，求实数的取值范围．　　　解：设三个关于的方程均无实数根，则　　　　解①，得　；　　解②，得，或；　　解③，得．　　取①，②，③的交集，即不等式组的解集为　　．　　则使三个方程中至少有一个方程有实根的实数的取值范围应为CUM，即　　．　　点评：本题虽然不是一道证明题,但解题的基本思想和反证法有相似之处.二、正面繁琐或困难时宜用反证法如果从正面来求解困难或得不到解答，则从对立面来考虑，假设结论不成立，通过正确推理引出矛盾，最后肯定原来结论．例2设与是定义在实数集R上的函数，证明：存在时，．证明：若对任意的，都有3令，则，令，则令，则，当，则　　

3、　　　①而　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②②式与①式矛盾．　所以存在时，．点评：如果遇到从正面入手不易解决的情况，这时采用“正难则反”的策略，则可使问题迅速获解．证明题就是用反证法.三、唯一性命题可考虑用反证法若命题的结论是表示“唯一存在的”，宜采用反证法例3（06年高考广东卷20题）A是由定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：①对任意，都有；②存在常数，使得对任意的，都有（Ⅰ）设，证明：；(Ⅱ)设,如果存在,使得,那么这样的是唯一的;(Ⅲ)设,任取,令证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式。解析：①对任意,,,,所以对任意的，，3

4、，所以0<,令=，，所以②反证法:设存在两个使得,则由，得，所以，矛盾，故结论成立。③，所以+…点评：第二问是关于唯一性的证明问题,突破思维障碍的关键是结合题目给定定信息，结合绝对值不等式的性质,利用反证法进行求解,起到了意想不到的效果．3