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《高中数学第三章推理与证明3.4运用反证法要善于制造“矛盾”素材》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、运用反证法要善于“制造”矛盾反证法是间接证明的一种基本方法，是从反面的角度思考问题的证明方法，是解决某些“疑难”问题的有力工具．反证法就是先假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，依靠矛盾推翻假设,从而证明原命题成立的.反证法的应用非常广泛,用反证法证明命题“若p则q”时，我们常常需要“制造”以下四种“矛盾”.一.与原命题的条件矛盾；例1.组装甲、乙、丙三种产品，需要A,B,C三种零件，每件甲产品用零件A,C各2个；每件乙产品用零件A2个，零件B1个；每件丙产品用B,C各1个，如组装10件甲，8件乙，5件丙，则剩下2个A零件，1个B零件，C零件
2、都恰好用完，试证无论如何改变甲、乙、丙的件数，都不会将零件A，B，C用完．解:假设组装甲x件，乙y件，丙z件，零件A,B,C恰好用完，则有方程组解得，方程组的解均为非整数，与题设矛盾，即假设错误，所以原命题成立．点评:本题的结论是“不论怎样改变甲、乙、丙的件数，都不会将零件A,B,C用完”,A,B,C不能用完的情况有多种，而结论的反面是“零件A，B,C都恰好用完”，这只有一种确定的情况，即三种零件的剩余数皆为零，因此从反面出发，较易证．通过推理得到的结果与题设矛盾.练习:1.设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点。求证：AC与平
3、面SOB不垂直。SCAOB证明:假设AC⊥平面SOB，∵直线SO在平面SOB内，∴AC⊥SO，∵SO⊥底面圆O，∴SO⊥AB，∴SO⊥平面SAB，∴平面SAB∥底面圆O，这显然出现矛盾，所以假设不成立。即AC与平面SOB不垂直。2.若函数f(x)在区间[a,b]上是增函数．求证：方程f(x)=0在区间[a,b]上至多有一个实根．证明：假设方程f(x)=0在区间[a,b]上有两个实根x1,x2.则f(xl）=f(x2）=0,这与函数f(x)在区间[a,b]上是增函数矛盾．故方程f(x)=0在区间[a,b]上至多有一个实根．二.与假设矛盾例2.求证：抛物线
4、没有渐近线.4分析:本题已知条件太少,直接证明难度太大,可以运用反证法.证明：设抛物线的方程是()。假设抛物有渐近线，渐近线的方程是，易知、都不为0。因为渐近线与抛物线相切于无穷远点，于是方程组的两组解的倒数都是0。将（2）代入（1），得（3）设、是（3）的两个根，由韦达定理，可知，则，（4），（5）由（4）、（5），可推得，这于假设矛盾。所以，抛物线没有渐近线。点评:利用假设作条件,经过推理论证,得出的结论与假设矛盾.练习:1.设函数f(x)对于定义域内任意实数都有f(x)≠0,且f(x＋y)=f(x)·f(y)成立．求证：对于定义域内的任意x都有f
5、(x)>0.解析:假设满足题设条件的任意x,f(x)＞0不成立，即存在某个x0，有f(x0)<0成立，因为f(x)≠0,所以f(x0)<0，又因为对于定义域内任意实数都有f(x+y)=f(x)·f(y)成立，既有=·=>0,这与假设f(x0)<0矛盾，因此假设不成立，所以对于定义域内的任意x都有f(x)>0成立．2.求证：抛物线上任意取四点所组成的四边形不可能是平行四边形．证明：如图，设抛物线方程为y2=ax(a>0)，A(x1，y1）,B(x2,y2）C(x3,y3）,D(x4,y4）是抛物线上的不同四点，则有=axi,（i=1，2，3，4），于是，
6、4同理,,.假定ABCD是平行四边形，则kAB=kCD,kBC=kDA，从而得yl=y3,y2=y4，进而得x1=x3，x2=x4，于是A、C重合,B,D重合，这与A,B,C,D是抛物线上不同的四点的假设相矛盾．故ABCD不可能是平行四边形．三.导出一个恒假命题．例3.已知p3+q3=2，求证：p+q≤2.分析：本题已知为p、q的三次幂，而结论中只有p、q的一次幂，应考虑到求立方根，同时用放缩法，但很难证，故考虑反证法．证明：假设p+q>2，那么p>2-q，∴p3＞(2-q)3=8-12q+6q2-q3．将p3+q3=2，代入得6q2-12q+6<0，
7、即6(q-1)2＜0.由此得出矛盾．∴p+q≤2.点评：(q-1)2不可能小于0.6(q-1)2＜0是一个恒假命题．当命题“结论反面”比“结论”更为明确具体时,宜用反证法.练习:1.平面上有四个点，没有三点共线，证明以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形．证明:如图，假设以每三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形．记这四个点为A,B,C,D.考虑△ABC,点D在△ABC之内或外两种情况．（1)如果点D在△ABC内，由假设点D处的三个角都是锐角，其和小于2700，这与一个周角等于3600矛盾．(2）如图，如果点D在△ABC外，由假设∠A，∠B，∠C，∠
8、D为锐角，这与四边形内角之和等于3600矛盾．综上所述，命题成立．2.已知a,b,c∈(0，1
