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《高中数学 第二章 推理与证明 22 直接证明与间接证明 运用反证法要善于制造“矛盾”素.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、运用反证法要善于“制造”矛盾反证法是间接证明的一种基本方法，是从反面的角度思考问题的证明方法，是解决某些“疑难”问题的有力工具.反证法就是先假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得岀矛盾，依靠矛盾推翻假设，从而证明原命题成立的.反证法的应用非常广泛，用反证法证明命题“若P则q”时，我们常常需要“制造”以下四种“矛盾”.一•与原命题的条件矛盾；例1.组装甲、乙、丙三种产品，需要A,B,C三种零件，每件甲产品用零件A,C各2个;每件乙产品用零件A2个，零件B1个；每件丙产品用B,C各1个，如组装10件甲，8件乙
2、，5件丙，则剩下2个A零件，1个B零件，C零件都恰好用完，试证无论如何改变甲、乙、丙的件数，都不会将零件A,B,C用完.解:假设组装甲x件，乙y件，丙z件，零件A,B,C恰好用完，则有方程组2x+2z=2x10+2x5+2《2x+y=2x10+8+1y+z=8+5x=10-32解得y=J-,方程组的解均为非整数，与题设矛盾，即假设错误，所以原命题成立.3z=5-3点评：本题的结论是“不论怎样改变甲、乙、丙的件数,都不会将零件A,B,C用完”，A,B,C不能用完的情况有多种，而结论的反面是“零件A,B,C都恰
3、好用完”，这只有一种确定的情况，即三种零件的剩余数皆为零，因此从反而出发，较易证.通过推理得到的结果与题设矛盾.练习：求证：AC与平面1.设SA、SB是圆锥S0的两条母线，0是底面圆心，C是SB上一点。SOB不垂直。证明：假设AC丄平面SOB,・.・直线S0在平而SOB内,:.AC丄S0,・・・SO丄底面圆0,・•・S0丄AB,・・・S0丄平面SAB,・•・平面SAB〃底面圆0,这显然出现矛盾，所以假设不成立。即AC与平面SOB不垂直。2.若函数f(x)在区间［a,b］上是增函数.求证：方程f(x)二0在区
4、间［a,b］上至多有一个实根.证明：假设方程f(x)=0在区间［a,b］上有两个实根xi,X2・则f(xj二f(X2)二0,这与函数f(x)在区间［a,b］上是增函数矛盾.故方程f(x)二0在区间［a,b］上至多有一个实根.%1.与假设矛盾例2.求证：抛物线没有渐近线.分析：本题已知条件太少，直接证明难度太大，可以运用反证法.证明：设抛物线的方程是y2=2px(p^0)o假设抛物有渐近线，渐近线的方程是y=ax^b,易知a、b都不为0。因为渐近线与抛物线相切于无穷远点，于是方程组y2=2pxy=ax-vb的
5、两组解的倒数都是0。将(2)代入(1),得(3)a~x~+2(ab—p)x+b2=0设西、吃是(3)的两个根，由韦达定理，可知X}+兀22(ab一p)a2则■
6、1/+兀2_-2(ab-p)x,x2x}x2X2b2(4)丄丄二丄斗O'%!x2x,x2(5)由(4)、(5),可推得p=0,这于假设"HO矛盾。所以，抛物线没有渐近线。点评：利用假设作条件,经过推理论证，得出的结论与假设矛盾.练习：1.设函数f(x)对于定义域内任意实数都有f(x)HO,且f(x+y)=f(x)・f(y)成立.求证:对于定义域内的任
7、意x都有f(x)>0.解析：假设满足题设条件的任意x,f(x)>0不成立,即存在某个x。，有f(xo)0,这与假设f(xo)<°矛盾，因此假设JJ厶JJ不成立，所以对于定义域内的任意X都有f(x)>0成立.2.求证：抛物线上任意取四点所组成的四边形不可能是平行四边形.证明：如图，设抛物线方程为y2=ax(a>0),A(xi,yi),B(x2,y2
8、)C(x3,y3),D(x4,y4)2是抛物线上的不同四点，则有y,2=axi,x.=—(i=l,2,3,4),于是，k一儿ABx2-X_力a一X】y"aaV2+X同理£肚=akcD=ak儿+儿'，kda为+儿假定ABCD是平行四边形,则kAB=kcD,kM二km,从而得yi=ys,丫刊,进而得xlxs,X2二X1,于是A、C重合,B,D重合，这与A,B,C,D是抛物线上不同的四点的假设相矛盾.故ABCD不可能是平行四边形.%1.导出一个恒假命题.例3.已知p"+q-2,求证：p+qW2.分析：本题己知为p
9、、q的三次幕，而结论中只有p、q的一次幕，应考虑到求立方根,同时用放缩法，但很难证，故考虑反证法.证明：假设p+q>2,那么p>2-q,/.p3>(2~q)3=8-12q+6q2-q3.将p‘+q‘二2,代入得6q2-12q+6<0,即6(q-l)2<0.由此得出矛盾•・・・p+qW2.点评：(q-1)2不可能小于0.6(q-l)2<0是一个恒假命题.当命题“结论反面”比“结论”更为明确具体时,宜用反证法.练习：
