高中数学第三章推理与证明3.4“法力无边”的反证法素材

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1、“法力无边”的反证法先假设要证的结论不对，由此出发通过合理的逻辑推理而导出矛盾，从而否定假设，断定求证的命题成立．这就是反证法．对于一些数学问题，如果从正面思考难以奏效时，不妨尝试从反面入手，借助反证法，巧用逆向思维，找到解决问题的途径．下面略举一例，根据思维的不同切入口，利用基本不等式，展现反证法在不等式证明中的“无边法力”．问题：已知,求证：,,不可能同时大于分析：由求证的特点，显然选择“反证法”，首先设,,同时大于，根据反证法的原理，如何利用反设作为条件，并且结合问题的已知找出矛盾，成为本题解决的核心问题．证法一：假设,,

2、同时大于．因为，所以,,必然大于，因此由利用不等式性质，左右分别相加可以得（1）由于（2）根据（1）和（2）可以得出矛盾，从而假设错误．证法二：假设,,同时大于．因为，所以,,必然大于，3因此由利用不等式性质，左右分别相加可以得移项可得（1）由于（2）根据（1）和（2）可以得出矛盾，从而假设错误．证法三：假设,,同时大于．因为，所以,,必然大于，因为又因为，得，所以可以得到，也就是，显然矛盾，从而假设错误．证法四：假设,,同时大于．因为，所以,,必然大于，3因此由（1）由于　（2）根据（1）和（2）可以得出矛盾，从而假设错误．归

3、纳小结：从本例题可以看出，对于不等式的证明有时可以用反证法从不同的角度去证明．多渠道、多途径去分析、探索解决问题的方法，逐步养成良好的分析问题的习惯，活跃并拓宽思路，使所学知识连成片，融会贯通，学习的思维品质会逐步提高．3