【数学与应用数学专业】【毕业论文+文献综述+开题报告】二项式定理及其应用

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（20__届）本科毕业论文二项式定理及其应用 摘要：本文首先对杨辉三角形的相关背景资料进行了整理，归纳了杨辉三角形的基本性质，并梳理了它与二项式定理之间的关系，继而又从二项式定理的通项、系数的性质等方面对二项式定理的推广和应用进行了综述。在文章的最后，举例说明了较为实用的矩阵二项式定理。关键词：二项式定理；杨辉三角；系数恒等式 TheBinomialTheoremandItsApplicationsAbstract:ThisarticlefirstYanghuiTrianglerelevantbackgroundinformationwereconsolidated,summarizedthebasicpropertiesofYanghuiTriangle,andcombeditwiththerelationshipbetweenthebinomialtheorem,andthenthegeneraltermandfromthebinomialtheorem,thecoefficientofthenatureofIntermsofthebinomialtheoremandapplicationsarereviewed.Atlast,amorepracticalexampleofamatrixbinomialtheorem.Keywords:binomialtheorem;YangHuitriangle;coefficientidentities 目录1引言12杨辉三角形与二项式定理的关系12.1杨辉三角12.2杨辉三角的基本性质22.3排列与组合中的加法规则和乘法规则32.3.1加法规则32.3.2乘法规则32.3.3组合的原理42.4二项式定理42.4.1数学归纳法42.4.2二项式定理的证明52.4.3二项式系数的性质73二项式定理的推广与应用83.1二项式定理的推广形式83.2二项式定理的应用83.2.1对二项式定理的直接应用93.2.2二项式定理的通项的应用93.2.3二项式系数的性质的应用103.2.4费尔马小定理的新证明113.2.5矩阵的二项式定理15总结17致谢18参考文献19嘉兴学院本科生毕业论文（设计）28 1引言二项式定理是初等数学中的一个重要定理,其形成过程是组合知识的应用,同时也是进一步学习概率统计的准备知识,在高等数学中更是许多重要公式的共同基础。而二项式定理以及它的各种推广形式在初等数学和概率统计中都有重要的理论和应用价值。而在西方，1665年，刚好22岁的牛顿发现了二项式定理，这对于微积分的充分发展是必不可少的一步。虽然当时无法给出二项式定理的证明，但可以肯定二项式级数展开式是研究级数论、函数论、数学分析、方程理论的有力工具。随着社会的发展，二项式定理被人们最为广泛的应用于组合原理当中。组合原理又称组合数学或组合论。它所研究的中心问题是根据一定的规则来安排某些事物的有关数学问题，但组合原理中的许多问题都是数学中的精华。组合原理的应用也涉及到自然科学和社会科学的许多领域。例如，它在计算机科学、编码理论、通信网络、电子工程、实验设计、交通运输、社会经济学、管理科学等领域中都有着广泛的使用价值，特别是在计算机科学中有着重要的应用。这不仅因为它是这门学科的重要基础，更为主要的原因是计算机科学的核心是算法的研究，而组合算法是算法的重要组成部分。本文基于二项式定理的相关性，参考国内外相关文献，就二项式定理的各种证明方法、各种推广形式以及二项式定理在学科中的应用进行综述。2杨辉三角形与二项式定理的关系2.1杨辉三角提及二项式定理就不得不说杨辉三角，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，南宋数学家杨辉在《详解九章算法》（1261年）记载并保存了“贾宪三角”，故称杨辉三角。杨辉三角在我国古代大多是用来作为开方的工具。直到现在，我们在代数学中学到的开平方的方法，仍然是从杨辉三角中得来的。可见，杨辉三角与二项式定理之间有着不同寻常的关系。28 图2-1：开方作法本源图2-1被称为“杨辉三角”。杨辉三角并不是杨辉发明的，原来的名字也不是“三角”,而是“开方作法本源”；后来也有人称为“乘法求廉图”。这些名称实在太古奥了些，所以我们简称之为“三角”。杨辉是我国宋朝时候的数学家，他在公元1261年著了一本名为《详解九章算法》的书，里面画了这样一张图，并且说这个方法出于《释锁算书》，贾宪曾经用过它。杨辉还说明了表里除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，故人们把此表称之为“杨辉三角形”或“杨辉法则”。但《释锁算书》早已失传，这书刊行的年代无从查考，是不是贾宪所著也不可知，更不知道在贾宪以前是否已经有这个方法。然而有一点是可以肯定的，这一图形的发现在我国当不迟于1200年左右。在欧洲，这图形称为“帕斯卡（Pascal）三角[1]”。因为一般都认为这是帕斯卡在1654年发明的。其实在帕斯卡之前已有许多人论及过，最早的是德国人阿批纳斯（PertrusApianus），他曾经把这个图形刻在1527年著的一本算术书的封面上。可是无论怎样，杨辉三角的发现，在我国比在欧洲至少要早300年光景。2.2杨辉三角的基本性质杨辉三角中具有以下基本性质：①每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，回到1。②第行的数字个数为。③第行数字和为。④杨辉三角中任一数等于它肩上的两数之和。28 2.3排列与组合中的加法规则和乘法规则在给出加法规则前，我们先给出有关集合的两个基本的定义定义2.1集合的等势：如果存在到的双射则称到等势，记为定义2.2基数：所有彼此等势的集合确定的数称为基数。和集合彼此等势的所有集合（从而它们彼此等势）确定的基数称为的基数，记为。这样就有：当且仅当。2.3.1加法规则设是有限集合，若，，且当时，，则有特别地，当时，有换言之，加法规则可以叙述为：若集合可以分解为互不相交的子集之并，则确定中的事物个数，可以先求出各子集中的事物个数，然后相加。对，用生活中的话来说，加法规则则可叙述为：假若有互相独立的两个事件和分别有种和种方法产生，则产生和的方法数有种。2.3.2乘法规则在给出乘法规则前，首先给出直积[2]的定义。定义2.3笛卡尔(Descartes)乘积又叫直积。设、是任意两个集合，在集合中任意取一个元素，在集合中任意取一个元素，组成一个有序对，把这样的有序对作为新的元素，他们的全体组成的集合称为集合和集合的直积，记为,即。乘法规则：若为有限集，且则有特别地，当时，有28 换言之，乘法规则可以叙述为：若集合是集合的直积，则确定中的事物个数，可以先求出各个集合中的事物个数，然后相乘。应当注意，对于中的元，它们和各分量是相互独立的。2.3.3组合的原理定义2.4设是具有个元素的集合，是非负整数。从这个不同的元素里取个且不考虑次序组合起来，称为集合的组合。换句话说，的组合是的无序子集。用表示集合的组合的个数。另外，为了使用方便，定义。对于，有若将杨辉三角中的数字换成组合数的形式，则杨辉三角的性质4可转化为等式其中我们视等于1。证明：利用组合分析的方法论证，在集合的个元素中固定一个元素，不妨为，于是，从个元素中取个元素的组合可分为以下两类。（1）个元素中包含。这可以从除去的个元素中取个元素的组合，然后将加入而得到，其组合个数为。（2）个元素中不包含。这可以从除去的个元素中取个元素的组合而得到，其组合个数为。由加法规则即得这一公式被称为Pascal公式，我们也可称为杨辉等式。2.4二项式定理2.4.1数学归纳法本文使用的是第一数学归纳法[1]。假如有一个数学命题，合于下面条件：（1）这个命题对是正确的；（2）如设这个命题对任一正整数为正确的，就可以推出它对于28 也正确。那么这个命题对于所有的正整数都是正确的。2.4.2二项式定理的证明定理2.1二项式定理：当是一个正整数时，对任何和，有（1）式（1）右边的式子称为的二项式展开式，系数常称为二项式系数。为了方便，我们把的展开式的第项记为，则有，这个式子叫做二项式的通项公式。这样各展开式里各项的系数可以列表如下：112113311464115101051………………………………………………………表2-1展开式各项系数表很明显，我们可以应用这个杨辉三角形来直接求出二项式任一次幂的项的系数，但过程的机械与繁琐也是显而易见的。通过不同的方法对二项式定理进行证明。证法一：二项式定理对于的情形显然成立。另一方面，假设定理对任一正整数成立。那么，因为28 再由杨辉恒等式（注意），便得到即对于也成立，从而二项式定理得证。利用组合分析法证明二项式定理：证法二：因为在这个因子中，项是从个因子中选取个因子，。在这个里都取，而从余下的个因子中选取作乘积得到。因此的系数为上述选法的个数，即为组合数。故有，得证。利用构造递推方程的方法证明二项式定理：证法三[4]：设，则，故只需证：⑵事实上，设①则②①+②得：所以数列满足递推式③即是首项为，公比为的等比数列，所以⑵式得证。2.4.3二项式系数的性质二项式系数的性质可以归纳为三条：（1）对称性。证明：事实上，从个不同的元素中选出个元素，就有28 个元素没有被选出。因此选出个元素的方式等于选出个元素的方式数，即有。（1）增减性与最大值。当为偶数时，二项式系数最大值为：当为奇数时，二项式系数最大值为：和证明：由于：所以相对于的增减情况由决定。当，即时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。因此，当为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当为奇数时，中间的两项的二项式系数和相等，且同时取得最大值。（2）各二项式系数的和。证明：在二项式定理中，令，则：这就是说，的展开式的各个二项式系数的和等于。一个集合有个元素，则子集个数为：这些性质主要用于求二项式中二项式系数最大项及展开式中系数最大项，但应注意二项展开中某项的二项式系数与该项的系数的区别。还可以用来求展开式中某些项的系数和以及证明有关组合数问题。3二项式定理的推广与应用3.1二项式定理的推广形式对于多项式的整数次，我们能可得到类似于二项式定理的结果。定理3.1多项式定理设n和k为正整数，则有28 ，其中并称其为多项式系数。证明：令代表将第个球放入第个盒子。于是代表了将个有区别的球放入个有区别的盒子中的一种放法。于是的右端各项则代表所有放法的列举。略去上式的上标，合并同类项，整理得由以上讨论知系数恰为将个有区别的球放入个有区别的盒子中，使第一个盒子装个，…，第个盒子装个的放法数，即有从而定理得证。3.2二项式定理的应用在初等数学当中，对二项式定理的运用，主要涉及二项式定理的直接应用、二项式定理的通项的应用和二项式系数的性质的应用三个方面[9]。3.2.1对二项式定理的直接应用主要涉及整除与求余数问题、近似计算问题和证明不等式等问题。例3.1：今天是星期一，再过天是星期几？分析：因为28 可见被7除余1，即再过天是星期二。例3.2：求的近似值（精确到0.001）分析：按精确度要求只取前两项计算可得的近似值为0.985.例3.3：某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%，如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？分析：设耕地平均每年至多只能减少公顷，又设该地区现有人口为人，粮食单产量吨/公顷，依题意得不等式模型并化简得根据近似计算法则将展开留前三项，小数点后保留4位有效数字。即3.2.2二项式定理的通项的应用二项式定理展开式的通项公式中给出了参变量之间的关系，所以可以利用它求展开式中的某项[10]，或含有的项的系数，以及根据题设条件给出的某些项之间的关系通过方程（组）或不等式来确定，再求出某项或某参数的取值等问题。例3.4：展开式中的系数为多少？分析：直接利用二项展开式通项公式，得28 令，得。则的系数为例3.5：在代数式的展开式中，常数项为多少？分析：的二项展开式的通项公式为，可以看出此展开式中含有:常数项。项，项,…,项,显然展开式中常数项为。例3.6：若的展开式中，第四项与第六项系数相等，求展开式中的常数项。分析：因为，，所以，解得，再用二项展开式的通项公式就可求出常数项为70.3.2.3二项式系数的性质的应用例3.7：求展开式中二项式系数最大项及展开式中系数最大项。分析：利用二项式系数的性质，展开式中有八项，其中第四、五项的二项式系数相等且最大，为。展开式系数最大项应在正项中出现，即在第一、三、五、七项中出现。当时，系数分别为：所以系数最大项为第五项，例3.8：若，则的值为多少？28 分析：令，则又，则例3.9：求证：分析：因为所以左边二项式定理是组合数学中一个基础而重要的定理，在微积分、概率论、初等数论等许多数字分支中都可见其踪影。引入微分算子后，微积分的牛顿----莱布尼兹公式可以用二项式定理来表述等。二项式定理有着广泛的应用，如果不能够准确把握其本质，则可能导致无法预测的结果。在求复数方幂的过程中，如果直接用二项式定理计算，则会使计算量增大且容易出错，因此才出现了复数计算的狄莫弗定理，对于二次根式和初等超越数方幂的计算，同样也会面临此尴尬，所以需要另辟蹊径。从另一个角度，形象地说就是“从二项式到二项式”来重新审视二项式定理，给出了数环中一类数的次幂计算的递推公式法。有鉴于此，费尔马小定理是初等数论中的一个著名定理，虽然它的证明方法各异，但其共同的特点是不够直观，需要很多背景知识作基础。3.2.4费尔马小定理的新证明定理3.2费尔马小定理：设是素数,若是与互素的整数,则它的证明方法各种各样,其中广泛流行的就是被欧拉重新证明并加以推广,而成为欧拉定理推论的那种方法。其实,对费尔马小定理的证明,可以利用二项式定理的推广形式即多项式定理,给出它的更加直观的一种证明。所谓多项式定理就是对项和的任何整数幂，有28 ⑤其中⑥并称其为多项式系数。下面我们给出费尔马小定理的多项式定理证明[13]。为此我们从考察多项式的系数入手，分四步来证明：所有二项式系数均为正整数。因为个连续整数之积恒被所整除；多项式系数中有个等于1.因为当，而时，若为素数，则除了2）中的个系数外，剩下的多项式系数均被整除。因为由1）知多项式的系数均为整数，所以。又，因此的素数分解式中不会包含。于是，从而在⑤中令每一个，则可得⑦可得⑦中的和式被素数整除，即。为此可令，其中为整数。这样⑦式成为或。此式说明而，所以有，即。于是费尔马小定理得证。通项为的次多项式的数列是一种非常特殊的数列，有其比较特殊的研究价值。运用组合恒等式、数学归纳法等初等数学的方法，通过“归纳—猜想—论证”28 ，提出用待定系数法解决此类数列求和问题，并结合二项式定理和数列间的递推关系导出了求待定系数的一般方法，旨在更好地解决数列求和问题[12]。猜想一：若为的次多项式，则的前项和为的次多项式。证明：（1）当时，结论显然成立。（2）假设当时结论成立，即的次多项式的前项和为的次多项式。当时其中为的次多项式，则（其中为的首项系数，）因为为的次多项式，所以由假设可得为的次多项式。又为的次多项式，故为的次多项式。即时结论成立。综上，结论得证。由此证明过程不难得到一个推论：若的首项系数为，则的首项系数为。猜想二：若为的次多项式，则的前项和的常数项。证明：（1）当时，显然成立。（2）假设当时结论成立，即的次多项式的前项和的常数项。那么，当时，因为（其中为已知非零常数，为的次多项式）又由于28 所以其中因为为的次多项式，所以由假设可得的常数项为零。所以的常数项为零。综上可知：若为的次多项式，则的前项和的常数项。由以上两个猜想，可以得到一个定理：定理3.3为的次多项式，则的常数项为0的次多项式，且若的首项系数为，则的首项系数为。由此定理可知，若为的次多项式，则我们可以用待定系数法求。即若已知则设然后列出个方程，求出。这种方法思路直接，且易于掌握；但是，如果增大，则计算量也变得很大。求的一般方法因为则又因为28 所以且，比较系数得对于这个方程组，我们只需通过步，便可依次求出二项式定理在高等代数中也得到了一定的推广和应用。主要把数式二项式定理进行了推广，给出项式拟似的定理和可交换同型矩阵的二项式定理，并举例说明推广定理在求多项式的次方幂和矩阵的次方幂时的应用。3.2.5矩阵的二项式定理二项式定理中两元素均为实数,当然满足乘法交换律,即,如果将换成两个同型矩阵,由于矩阵的乘法不满足交换律,即不能总成立,所以对上述二项式定理不成立,为此,我们又将引出关于矩阵的二项式定理.定理3.4　如果数域上两个同型矩阵可交换,即,那么其中证明：（1）当时，显然成立，当时，28 左边右边左边=右边，结论成立。（2）假设当时，有（3）当时，有故当时，结论也成立。综上所述，对于，结论成立。上述定理在求矩阵和的方幂时计算方便，应用广泛，特别是时，由于,定理可简化为例3.10：已知,求。解：因为,则由于,,28 ,故所以从上述例题中我们很容易看到定理在求矩阵方幂时简化计算的重要作用，但值得注意的是，不是任何矩阵方幂都可以利用这个定理来求，它必须是两个可交换的同型矩阵方可使用，这在解题中应引起高度重视。总结从最初的杨辉三角开始，二项式定理已有数百年的历史。而二项式定理在初等数学的组合知识有着广泛的应用,同时又是进一步学习概率统计的准备知识,更重要是在高等数学中它是许多重要公式的奠基石。人们在二项式定理上所做的努力，也对数学的发展起着积极的推动作用，这也让我们认识到二项式定理在数学的其他分支里都有着无可替代的重要地位。而数学家们对二项式的研究也会随着数学的发展而不断的进取，在更多的地方对二项式定理进行推广，使更多的理论得到进一步的简化。在数学学科高度细化的今天，很多门学科都要建立在二项式的基础上才能深入下去。而初等数学当中的研究更具有现实意义，高等数学当中的研究也是数学发展的催化剂。总之，事物总是发展向前的，随着人们更深入的研究，笔者相信原本繁琐的等式证明，在得当的利用二项式定理之后，有着更加简明的过程。28 参考文献[1]华罗庚.从杨辉三角谈起[M].北京:科学出版社，2002:6-21.[2]张世新,张先迪.组合原理及其应用[M].北京:国防工业出版社，2006:15-24.[3]柳丽红.证明组合恒等式的方法与技巧[J].内蒙古电大学刊.2006(10):86-87.[4]常海廷,陈美娟.浅谈二项式系数恒等式的几种证明方法[J].科技信息.2009(1):5.[5]王永利,田芝,张骞.从二项式定理到多项式定理[J].中学数学杂志(高中).2007(4):13-14.[6]唐佑华.二元齐次对称多项式与二项式定理[J].数学通报，1982（12）：35-40.[7]李亚兰.微分型算子与二项式定理的推广[J].渭南师范学院学报,2009,24(5):3-5.[8]谭明术.关于二项式型多项式的注记[J].西南民族大学学报自然科学版，2010,36(1):6-11.[9]张文娣.二项式定理及其应用[J].甘肃联合大学学报(自然科学版）,2004,18(4):90-91.[10]方厚良,罗灿.二项式定理的应用[J].数学通讯,2004,(07):19-20.[11]邓勇.基于二项式定理应用的探究[J].大庆师范学院学报.2008,28(5):71-73.[12]汤召渤,李俊.关于用待定系数法求数列前n项和的研究[J].牡丹江大学学报,2009,18(12):105-107.[13]孙辛荣,曹学锋.二项式定理的推广及应用[J].广西教育学院学报，2004(5):53-54.[14]Tucker,Alan.AppliedCombinatorics[M].4ED.NewYork:JohnWiley&Sons,2002:53-68.[15]Gould,H.W.CombinatorialIdentities[M].Morgantown,W.Va1972.28 文献综述二项式定理及其应用　　　　　　一、前言部分二项式定理是初等数学中的一个重要定理,其形成过程是组合知识的应用,同时也是进一步学习概率统计的准备知识,在高等数学中更是许多重要公式的共同基础。而二项式定理以及它的各种推广形式在初等数学和概率统计中都有重要的理论和应用价值。本文基于二项式定理的相关性，参考国内外相关文献，就二项式定理的各种证明方法、各种推广形式以及二项式定理在学科中的应用进行综述。提及二项式定理就不得不说杨辉三角，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，南宋数学家杨辉在《详解九章算法》（1961年）记载并保存了“贾宪三角”，故称杨辉三角。杨辉三角在我国古代大多是用来作为开方的工具。直到现在，我们在代数学中学到的开平方的方法，仍然是从杨辉三角中得来的。可见，杨辉三角与二项式定理之间有着不同寻常的关系。而在西方，1665年，刚好22岁的牛顿发现了二项式定理，这对于微积分的充分发展是必不可少的一步。虽然当时无法给出二项式定理的证明，但可以肯定二项式级数展开式是研究级数论、函数论、数学分析、方程理论的有力工具。随着社会的发展，二项式定理被人们最为广泛的应用于组合原理当中。组合原理又称组合数学或组合论。它所研究的中心问题是根据一定的规则来安排某些事物的有关数学问题，但组合原理中的许多问题都是数学中的精华。组合原理的应用也涉及到自然科学和社会科学的许多领域。例如，它在计算机科学、编码理论、通信网络、电子工程、实验设计、交通运输、社会经济学、管理科学等领域中都有着广泛的使用价值，特别是在计算机科学中有着重要的应用。这不仅因为它是这门学科的重要基础，更为主要的原因是计算机科学的核心是算法的研究，而组合算法是算法的重要组成部分。二、主题部分（一）二项式定理及相关系数恒等式的研究28 二项式定理：当是一个正整数时，对任何和，有（1）式（1）右边的式子称为的二项式展开式，系数常称为二项式系数。为了方便，我们把的展开式的第项记为，则有，这个式子叫做二项式的通项公式。这样各展开式里各项的系数可以列表如下：112113311464115101051………………………………………………………此表，早在我国宋朝数学家杨辉于公元1961年所著的《详解九章算法》一书里已出现。杨辉还说明了表里除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，故人们把此表称之为“杨辉三角形”或“杨辉法则”，西方称为“Pascal三角形”。很明显，我们可以应用这个杨辉三角形来直接求出二项式任一次幂的项的系数，但过程的机械与繁琐也是显而易见的。而证明二项式定理最常用的是用数学归纳法。它的原理是这样的：假如有一个数学命题，合于下面条件：（1）这个命题对是正确的；（2）如设这个命题对任一正整数为正确的，就可以推出它对于也正确。那么这个命题对于所有的正整数都是正确的。文献[1]中也介绍了用组合分析法进行证明。而在文献[2]中，作者利用初等数学中构造递推方程的方法，给出了二项式定理的新证法。主要是思想是通过一个关系变量，使，把变成，从而构造递推公式进行求解。28 恒等式的组合证明赋予了恒等式一定的组合意义，组合证明最常用的方法是分别用两种不同的方法对恒等式的两端进行计算。在文献[3]和[4]中，作者主要讨论了利用分析学，子空间集合和格路模型方法来证明组合恒等式。（二）二项式定理的各种推广多项式定理：设n和k为正整数，则有，其中并称其为多项式系数。文献[5]主要介绍了从二项式定理到多项式定理的推导过程，在前人用数学归纳法的前提下，结合组合的方法对多项式定理进行了论证。组合恒等式研究是组合分析上的一个分支。HW.Gould教授的《组合恒等式》一书于1972年问世，该书收集550个组合恒等式，分为九类证法，这是组合恒等式上值得称道的工作。新型组合恒等式是研讨别开生面的几类组合孪生恒等式组的问题。文献[6][7]利用几个微分型算子，找出其对应的正则基序列，然后研讨多项型、二项式定理型的组合恒等式组，得到一批新结果。它推广了二项式定理。文献[8]就讨论了二项式型多项式的性质和与Bell多项式的关系及其应用，给出了一个二项式型多项式的递推公式，推广了现有文献的结果，得到了一些组会恒等式。为日后的组合序列的研究起到了积极的作用。（三）二项式定理的应用在初等数学当中，对二项式定理的运用，主要涉及二项式定理的直接应用、二项式定理的通项的应用和二项式系数的性质的应用三个方面。1.对二项式定理的直接应用。主要涉及整除与求余数问题、近似计算问题和证明不等式等问题。例如文献[9][10]中所罗列的问题：今天是星期一，再过天是星期几？求的近似值等等。这些问题在日常的生活和学习中有比较现实的意义，也因此使得二项式定理在初等数学当中被广泛运用。2.二项式定理的通项的应用。二项式定理展开式的通项公式中给出了参变量之间的关系，所以可以利用它求展开式中的某项，或含有的项的系数，以及根据题设条件给出的某些项之间的关系通过方程（组）或不等式来确定，再求出某项或某参数的取值等问题。28 3．二项式系数的性质的应用。二项式系数的性质可以归纳为三条：（1）对称性；（2）增减性与最大值；（3）各二项式系数的和。这些性质主要用于求二项式中二项式系数最大项及展开式中系数最大项，但应注意二项展开中某项的二项式系数与该项的系数的区别。还可以用来求展开式中某些项的系数和以及证明有关组合数问题。二项式定理是组合数学中一个基础而重要的定理，在微积分、概率论、初等数论等许多数字分支中都可见其踪影。引入微分算子后，微积分的牛顿----莱布尼兹公式可以用二项式定理来表述等。二项式定理有着广泛的应用，如果不能够准确把握其本质，则可能导致无法预测的结果。在求复数方幂的过程中，如果直接用二项式定理计算，则会使计算量增大且容易出错，因此才出现了复数计算的狄莫弗定理，对于二次根式和初等超越数方幂的计算，同样也会面临此尴尬，所以需要另辟蹊径。从另一个角度，形象地说就是“从二项式到二项式”来重新审视二项式定理，给出了数环中一类数的n次幂计算的递推公式法。有鉴于此，费尔马小定理是初等数论中的一个著名定理，虽然它的证明方法各异，但其共同的特点是不够直观，需要很多背景知识作基础。文献[11]从二项式定理的推广形式----多项式定理入手，给出费尔马小定理的一个更加初等的证明。通项为的次多项式的数列是一种非常特殊的数列，有其比较特殊的研究价值。文献[12]运用组合恒等式、数学归纳法等初等数学的方法，通过“归纳—猜想—论证”，提出用待定系数法解决此类数列求和问题，并结合二项式定理和数列间的递推关系导出了求待定系数的一般方法，旨在更好地解决数列求和问题。二项式定理在高等代数中也得到了一定的推广和应用。文献[13]主要把数式二项式定理进行了推广，给出项式拟似的定理和可交换同型矩阵的二项式定理，并举例说明推广定理在求多项式的次方幂和矩阵的次方幂时的应用。一、总结部分从最初的杨辉三角开始，二项式定理已有数百年的历史。而二项式定理在初等数学的组合知识有着广泛的应用,同时又是进一步学习概率统计的准备知识,更重要是在高等数学中它是许多重要公式的奠基石。人们在二项式定理上所做的努力，也对数学的发展起着积极的推动作用，这也让我们认识到二项式定理在数学的其他分支里都有着无可替代的重要地位。而数学家们对二项式的研究也会随着数学的发展而不断的进取，在更多的地方对二项式定理进行推广，使更多的理论得到进一步的简化。28 在数学学科高度细化的今天，很多门学科都要建立在二项式的基础上才能深入下去。而初等数学当中的研究更具有现实意义，高等数学当中的研究也是数学发展的催化剂。总之，事物总是发展向前的，随着人们更深入的研究，笔者相信原本繁琐的等式证明，在得当的利用二项式定理之后，有着更加简明的过程。四、参考文献[1]张世新,张先迪.组合原理及其应用[M].北京:国防工业出版社，2006:15-24.[2]华罗庚.从杨辉三角谈起[M].北京:科学出版社，2002:6-21.[3]柳丽红.证明组合恒等式的方法与技巧[J].内蒙古电大学刊.2006(10):86-87.[4]常海廷,陈美娟.浅谈二项式系数恒等式的几种证明方法[J].科技信息.2009(1):5.[5]王永利,田芝,张骞.从二项式定理到多项式定理[J].中学数学杂志(高中).2007(4):13-14.[6]唐佑华.二元齐次对称多项式与二项式定理[J].数学通报，1982（12）：35-40.[7]李亚兰.微分型算子与二项式定理的推广[J].渭南师范学院学报,2009,24(5):3-5.[8]谭明术.关于二项式型多项式的注记[J].西南民族大学学报自然科学版，2010,36(1):6-11.[9]张文娣.二项式定理及其应用[J].甘肃联合大学学报(自然科学版）,2004,18(4):90-91.[10]方厚良,罗灿.二项式定理的应用[J].数学通讯,2004,(07):19-20.[11]邓勇.基于二项式定理应用的探究[J].大庆师范学院学报.2008,28(5):71-73.[12]汤召渤,李俊.关于用待定系数法求数列前n项和的研究[J].牡丹江大学学报,2009,18(12):105-107.[13]孙辛荣,曹学锋.二项式定理的推广及应用[J].广西教育学院学报，2004(5):53-54.[14]Tucker,Alan.AppliedCombinatorics[M].4ED.NewYork:JohnWiley&Sons,2002:53-68.[15]Gould,H.W.CombinatorialIdentities[M].Morgantown,W.Va1972.28 开题报告二项式定理及其应用　　　　　　一、选题的背景、意义28 二项式定理是初等数学中的一个重要定理,其形成过程是组合知识的应用,同时也是进一步学习概率统计的准备知识,在高等数学中更是许多重要公式的共同基础。而二项式定理以及它的各种推广形式在初等数学和概率统计中都有重要的理论和应用价值。提及二项式定理就不得不说杨辉三角，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，南宋数学家杨辉在《详解九章算法》（1961年）记载并保存了“贾宪三角”，故称杨辉三角。杨辉三角在我国古代大多是用来作为开方的工具。直到现在，我们在代数学中学到的开平方的方法，仍然是从杨辉三角中得来的。可见，杨辉三角与二项式定理之间有着不同寻常的关系。文献[1]就从杨辉三角出发，对与杨辉三角有关的基本理论进行了系统的论述与证明。经过多年的发展，人们还发现杨辉三角中数学奇偶性存在着某种特殊的关系，例如文献[2]作者就以杨辉三角的行和列为单位，对杨辉三角中的素数和同余式进行了研究。而在西方，1665年，刚好22岁的牛顿发现了二项式定理，这对于微积分的充分发展是必不可少的一步。虽然当时无法给出二项式定理的证明，但可以肯定二项式级数展开式是研究级数论、函数论、数学分析、方程理论的有力工具。随着社会的发展，二项式定理被人们最为广泛的应用于组合原理当中。组合原理又称组合数学或组合论。它所研究的中心问题是根据一定的规则来安排某些事物的有关数学问题，但组合原理中的许多问题都是数学中的精华。组合原理的应用也涉及到自然科学和社会科学的许多领域。例如，它在计算机科学、编码理论、通信网络、电子工程、实验设计、交通运输、社会经济学、管理科学等领域中都有着广泛的使用价值，特别是在计算机科学中有着重要的应用。这不仅因为它是这门学科的重要基础，更为主要的原因是计算机科学的核心是算法的研究，而组合算法是算法的重要组成部分。由此可见，对二项式定理的进一步研究和推广，拥有它无可替代的现实意义。而近些年的研究主要集中在二项式定理的系数恒等式上，如文献[3]中，作者在著名数学家陈景润研究结果的基础上，对自然数幂方和二项系数表示的系数公式作了进一步的推广，利用行列式和二项系数的性质，得到了自然数幂方和由二项系数表示的系数公式和由排列数表示的系数公式。文献[4]利用了几个微分型算子，找出其对应的正则基序列，然后研讨多项式型、二项式定理型的组合恒等式组，得到一批新结果。它推广了二项式定理。二、研究的基本内容与拟解决的主要问题1、本文研究的基本内容:28 （一）总结并归纳二项式定理的各种证明方法，以及对其相关系数恒等式的证明。二项式定理：当是一个正整数时，对任何和，有（1）式（1）右边的式子称为的二项式展开式，系数常称为二项式系数。为了方便，我们把的展开式的第项记为，则有，这个式子叫做二项式的通项公式。文献[1]中给出了数学归纳法来证明此定理，而文献[5]则利用了初等数学中构造递推方程的方法，给出了二项式定理的新证法。恒等式的组合证明赋予了恒等式一定的组合意义，组合证明最常用的方法是分别用两种不同的方法对恒等式的两端进行计算。在文献[6]和[7]中，作者主要讨论了利用分析学，子空间集合和格路模型方法来证明组合恒等式。笔者研究的内容即把文献中所给出的证明方法，进行统一的归纳和整理。（二）整理并归纳二项式定理的各种推广形式。从二项定理到多项式定理的推广。多项式定理：设n和k为正整数，则有，其中并称其为多项式系数。最主要的推广集中在系数恒等式上。例如，文献[8]就讨论了二项式型多项式的性质和与Bell多项式的关系及其应用，给出了一个二项式型多项式的递推公式，推广了现有文献的结果，得到了一些组会恒等式。为日后的组合序列的研究起到了积极的作用。（三）总结二项式定理的应用。在初等数学当中，对二项式定理的运用，主要涉及二项式定理的直接应用、二项式定理的通项的应用和二项式系数的性质的应用三个方面。例如文献[9][10]中所罗列的问题：今天是星期一，再过天是星期几？求的近似值等等。这些问题在日常的生活和学习中有比较现实的意义，也因此使得二项式定理在初等数学当中被广泛运用。28 二项式定理是组合数学中一个基础而重要的定理，在微积分、概率论、初等数论等许多数字分支中都可见其踪影。引入微分算子后，微积分的牛顿----莱布尼兹公式可以用二项式定理来表述等。二项式定理有着广泛的应用，如果不能够准确把握其本质，则可能导致无法预测的结果。在求复数方幂的过程中，如果直接用二项式定理计算，则会使计算量增大且容易出错，因此才出现了复数计算的狄莫弗定理，对于二次根式和初等超越数方幂的计算，同样也会面临此尴尬，所以需要另辟蹊径。从另一个角度，形象地说就是“从二项式到二项式”来重新审视二项式定理，给出了数环中一类数的n次幂计算的递推公式法。有鉴于此，费尔马小定理是初等数论中的一个著名定理，虽然它的证明方法各异，但其共同的特点是不够直观，需要很多背景知识作基础。文献[11]从二项式定理的推广形式----多项式定理入手，给出费尔马小定理的一个更加初等的证明。2、拟解决的主要问题：通过对现有文献的整理和归纳，对二项式定理的各种证明方法、相关系数恒等式的证明、二项式定理的各种推广形式和二项式定理的应用这三个方面进行完整的综述。三、研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标1、研究的方法与技术路线：先采用文献研究法，搜集和阅读大量的相关文献，了解国内外的研究现状，吸收新理念，并对资料进行分类整理。再通过对文献中的主要研究结果进行分析和总结。如文献[12]中利用二项式定理推导勾股数组公式和三角函数的倍角公式，可以看出数学各分支之间的丰富联系。这对我们研究数学要开阔思路、纵横联系、简化优化有作很好的启迪和示范作用。2、研究的主要难点:由于搜索文献资料的方法和途径有限，无法对所有相关的文献进行有效的整理和归纳，因此如何在利用有限资源的基础上，对此课题进行尽可能完整的论述成为了研究的主要难点。3、预期达到的目标：通过本课题的研究，系统地学习用二项式定理去解决初等数学和高等数学中相关的问题，提高对数学知识联系性的同时，也提高自身的数学素养。并使读者能通过这篇文章，对二项式定理有通盘的认识。四、论文详细工作进度和安排28 第七学期第9周～第11周：收集与二项式定理相关的各种文献资料，进行分类加工整理。查找相关的外文文献；第七学期第12周～第13周：针对课题收集资料，阅读相关文献，对重要文献进行研读。并完成外文翻译；第七学期第14周～第17周：在大量阅读文献资料基础上，归纳总结，形成文献综述初稿，供指导老师审阅，并开始撰写开题报告；第七学期第18周：完成网上确认；上传外文翻译，文献综述、开题报告；第八学期第1周～第3周：全面开展课题研究，按照研究方案和路线撰写论文提纲。在与导师充分交流研讨后，开始撰写论文初稿，并完成论文初稿；第八学期第4周～第10周：对论文进行修改。继续完善论文初稿，完成研究任务；第八学期第11周～第12周:对论文进行修改完善，定稿；第八学期第13周～第14周:做好毕业论文答辩准备事项，进行答辩。五、主要参考文献：[1]华罗庚.从杨辉三角谈起[M].北京:科学出版社，2002:6-21.[2]盛志荣.杨辉三角与素数的关系[J].湖南理工学院学报(自然科学版).2009,22(4):6-9.[3]孟凡申,朱益民,徐礼卡.自然数幂方和二项系数表示的系数公式[J].梧州学院学报.2008,18(3):4-8.[4]李亚兰.微分型算子与二项式定理的推广[J].渭南师范学院学报,2009,24(5):3-5.[5]张世新,张先迪.组合原理及其应用[M].北京:国防工业出版社，2006:15-24.[6]柳丽红.证明组合恒等式的方法与技巧[J].内蒙古电大学刊.2006(10):86-87.[7]常海廷,陈美娟.浅谈二项式系数恒等式的几种证明方法[J].科技信息.2009(1):5.[8]谭明术.关于二项式型多项式的注记[J].西南民族大学学报自然科学版，2010,36(1):6-11.[9]张文娣.二项式定理及其应用[J].甘肃联合大学学报(自然科学版）,2004,18(4):90-91.[10]方厚良,罗灿.二项式定理的应用[J].数学通讯,2004,(07):19-20.[11]邓勇.基于二项式定理应用的探究[J].大庆师范学院学报.2008,28(5):71-73.[12]28 张伟.利用二项式定理推导勾股数组公式和倍角公式[J].重庆教育学院学报.2008,21(3):137-138.[13]Tucker,Alan.AppliedCombinatorics[M].4ED.NewYork:JohnWiley&Sons,2002:53-68.[14]Gould,H.W.CombinatorialIdentities[M].Morgantown,W.Va1972.28