【数学与应用数学专业】【毕业论文+文献综述+开题报告】商高方程及其应用

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1、（　20　届）本科毕业论文商高方程及其应用摘要：商高方程是个古老的数学问题．是二次不定方程的一个特殊形式．本文对商高方程的历史背景、它的解的形式探索及应用、推广并在费马大定理中所处的重要地位进行初步的介绍和研究．对其解的形式的部分结果给出证明．为学习和探究更复杂的二次及高次不定方程打下扎实基础．关键词：商高定理；商高方程；费马大定理；二次不定方程Pythagoras-equationAndItsApplicationsAbstract:Pythagoras-theoremistheancientmathemati

2、csquestion.Thisisaquadraticdiophantineequationspecialform.ThisarticletoPythagoras-theorem'shistoricalperspective,itssolution'sformexploresandapplies,thepromotionandtheimportantpositionwhichlocatesintheFermat'slasttheoremcarriesonthepreliminaryintroductionandt

3、heresearch.Givestheprooftoitssolution'sform'spartialresults.Inordertostudyandinquireintothatmorecomplextwoandthehighermodeindefiniteequationbuildsthesolidfoundation.Keywords:Pythagorastheorem;Pythagoras-equation;Fermat'slasttheorem;quadraticdiophantineequatio

4、ns目录1引言11.1概论11.2商高定理及费马大定理的历史背景11.2.1商高定理的历史背景11.2.2费马大定理的历史背景21.3商高方程和费马猜想的研究过程、现状以及发展方向32商高方程42.1一次不定方程简介42.2商高方程解的形式52.3商高方程求解举例73商高方程应用之推广94费马猜想的部分证明134.1两个引理134.2费马猜想当时的证明155总结22致谢23参考文献241引言1.1概论初等数论研究的是整数最基本的性质，是一门十分重要的数学基础课．其内容丰富而又充满魅力．就如潘承彪教授说的那样：好像

5、没有一门学科像“初等数论”那样，它的最基本的内容可以同时作为中小学生、大学生以及研究生的一门课程，当然在内容的深浅难易上各有不同．直到现在，数学家们仍乐此不疲的着数论中那些看似简单，但仍未找到其证明方法的问题．就如众说周知但至今尚未解决的“哥德巴赫猜想”，几百年来挑战了众多数学家的智慧，也得到了不少著名结果，却依旧是那样的神秘．足以可见这门课程的独特魅力所在．而中国在初等数论的研究有着悠久的历史和杰出的贡献．如：商高定理、中国剩余定理等．初等数论中一个重要分支就是不定方程．其中最著名的二次不定方程商高方程的求解问

6、题是本文研究的焦点．它的解的形式多样，其内容丰富多彩．只有弄清商高方程，才能对不定方程有更深入的把握，才能继续研究形式更复杂的不定方程解的情况，并对著名的费马大定理（解的存在性）有更清楚的认识．1.2商高定理及费马大定理的历史背景1.2.1商高定理的历史背景商高定理是个历史悠久的著名定理，我国古人在这方面的研究留下了一系列宝贵的著作．《周髀算经》就是我国流传下来的一部重要的数学著作，该书原名《周髀》，大约成书于公元2世纪．它包含了相当深刻的数学内容，其主要成就包括分数运算、商高定理（勾股定理）及其在天文学测量的应

7、用．该书卷首记述了一段精彩的对话：昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问昔者包牺立周天历度——夫天可不阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一．故折矩，以为句广三，股修四，径隅五．既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五．两矩共长二十有五，是谓积矩．故禹之所以治天下者，此数之所生也．”［１］由于此定理是商高发现的，所以称为“商高定理”．35《周髀算经》里还这样记载：周髀长八尺，夏至之日晷一尺六寸．髀者，股也，正晷者，勾也．正南千里，勾一尺五寸，

8、正北千里，勾一尺七寸．日益表南，晷日益长．候勾六尺,即取竹，空经一寸，长八尺，捕影而观之，室正掩日，而日应空之孔．由此观之,率八十寸而得径寸，故此勾为首，以髀为股，从髀至日下六万里而髀无影，从此以上至日，则八万里．［１］这段文字描述了中国古代人民如何利用商高定理在科学上进行实践．基于上述渊源，所以我们把这一定理叫做“勾股定理”或“商高定理”．这是中国最早关于勾股定理书面记