商高方程及其应用文献综述

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1、文献综述商高方程及其应用　一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主题争论焦点）初等数论是研究整数最基本的性质，是一门十分重要的数学基础课。好像没有一门学科像“初等数论”那样，它的最基本的内容可以同时作为中小学生、大学生以及研究生的一门课程，当然在内容的深浅难易上各有不同。直到现在，数学家们仍乐此不疲的着数论中那些看似简单，但仍未找到其证明方法的问题。就如至今尚未解决的“哥德巴赫猜想”，几百年来挑战了众多数学家的智慧，也得到了不少著名结果。足以可见这门课程的独特魅力所在

2、。而中国在初等数论的研究有着悠久的历史和杰出的贡献。如：商高定理、中国剩余定理等。而初等数论一个重要分支就是不定方程。其中二次不定方程商高方程的求解问题是本文研究的焦点。它的解的形式多样，其内容丰富多彩。只有弄清商高方程，才能对不定方程有更深入的把握，才能继续研究形式更复杂的不定方程解的情况，并对费马大定理（解的存在性）有更清楚的认识。不定方程的定义：变数个数多于方程个数，且取整数值的方程（或方程组）称为不定方程（或不定方程组）。一次不定方程的定义：设整数，,,...,是整数且都不等于零，以及，

3、...，是整数变数。方程（1）称为元一次不定方程，称为它的系数。[5]商高方程的定义：二次不定方程（2）它通常称为商高方程或Pythagoras方程。满足的解称为显然解，的解称为非显然解。费马大定理：当时，不定方程无的整数解。[5]本文介绍商高定理悠久的背景，简明地阐述不定方程的定义和内容，其中一些定理进行梳理、归纳，并举例进行说明。二、主体部分（阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问题的评述）（一）历史背景：商高定理：商高定理是个历史悠久的著名定理，我国古人在这方面的研究留下了一

4、系列宝贵的著作。《周髀算经》是我国古代流传下来的一部重要的数学著作，该书原名《周髀》，大约成书于公元2世纪。它包含了相当深刻的数学内容，其主要成就包括分数运算、商高定理（勾股定理）及其在天文学测量的应用。该书卷首记述了一段精彩的对话：昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问昔者包牺立周天历度——夫天可不阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长

5、二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。”由于此定理是商高发现的，所以称为“商高定理”。《周髀算经》里还这样记载：周髀长八尺，夏至之日晷一尺六寸。髀者，股也，正晷者，勾也。正南千里，勾一尺五寸，正北千里，勾一尺七寸。日益表南，晷日益长。候勾六尺,即取竹，空经一寸，长八尺，捕影而观之，室正掩日，而日应空之孔。由此观之,率八十寸而得径寸，故此勾为首，以髀为股，从髀至日下六万里而髀无影，从此以上至日，则八万里。这段文字描述了中国古代人民如何利用商高定理在科学上进行实践。基于上述渊源，所以

6、我们把这一定理叫做“勾股定理”或“商高定理”。这是中国最早关于勾股定理书面记载。在稍后一点的《九章算术》一书中，勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说:“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。”把这段话列成算式，即为:，即：。中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。由此可见，我国

7、在商高定理的研究上有悠久的历史和杰出的贡献。[1]西方勾股定理又称毕达哥拉斯定理。在西方的文献中，勾股定理一直以古希腊哲学家毕达哥拉斯的名字来命名。据说毕达哥拉斯发现这个定理后斩了百头牛庆祝，因此又称“百牛定理”。但迄今为止并没有毕达哥拉斯发现和证明勾股定理的直接证据。希腊另一位数学家欧几里德(Euclid,公元前三百年左右的人)在编著《几何原本》时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为“毕达哥拉斯定理”，以后就流传开了。[2]值得指出的是，由于《几何原本》的广泛流传，欧几

8、里得的证明是勾股定理所有证明中最为著名的，为此，希腊人称之为“已婚妇女的定理”；法国人称之为“驴桥问题”；阿拉伯人称之为“新娘图”、“新娘的坐椅”；在欧洲，又有人称之为“孔雀的尾巴”或“大风车”等，这些可能是从其几何图形得到的灵感吧！[1]费马大定理：公元1637年，费尔马在研究丢番图的《算术》一书时，想到了毕达哥拉斯问题的推广。费尔马在《算术》一书的空白处写到:“不可能将一个高于2次的幂写成两个同样幂次的和”。即当整数时，无正整数解。同时，还写下批注:“我有一个对这个命题的十分美妙的证明，很可