【数学与应用数学专业】【毕业论文+文献综述+开题报告】二项式定理及其应用

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1、（20__届）本科毕业论文二项式定理及其应用摘要：本文首先对杨辉三角形的相关背景资料进行了整理，归纳了杨辉三角形的基本性质，并梳理了它与二项式定理之间的关系，继而又从二项式定理的通项、系数的性质等方面对二项式定理的推广和应用进行了综述。在文章的最后，举例说明了较为实用的矩阵二项式定理。关键词：二项式定理；杨辉三角；系数恒等式TheBinomialTheoremandItsApplicationsAbstract:ThisarticlefirstYanghuiTrianglerelevantbackgroundinformationwereconsolidated,summarizedtheba

2、sicpropertiesofYanghuiTriangle,andcombeditwiththerelationshipbetweenthebinomialtheorem,andthenthegeneraltermandfromthebinomialtheorem,thecoefficientofthenatureofIntermsofthebinomialtheoremandapplicationsarereviewed.Atlast,amorepracticalexampleofamatrixbinomialtheorem.Keywords:binomialtheorem;YangHui

3、triangle;coefficientidentities目录1引言12杨辉三角形与二项式定理的关系12.1杨辉三角12.2杨辉三角的基本性质22.3排列与组合中的加法规则和乘法规则32.3.1加法规则32.3.2乘法规则32.3.3组合的原理42.4二项式定理42.4.1数学归纳法42.4.2二项式定理的证明52.4.3二项式系数的性质73二项式定理的推广与应用83.1二项式定理的推广形式83.2二项式定理的应用83.2.1对二项式定理的直接应用93.2.2二项式定理的通项的应用93.2.3二项式系数的性质的应用103.2.4费尔马小定理的新证明113.2.5矩阵的二项式定理15总结17致

4、谢18参考文献19嘉兴学院本科生毕业论文（设计）281引言二项式定理是初等数学中的一个重要定理,其形成过程是组合知识的应用,同时也是进一步学习概率统计的准备知识,在高等数学中更是许多重要公式的共同基础。而二项式定理以及它的各种推广形式在初等数学和概率统计中都有重要的理论和应用价值。而在西方，1665年，刚好22岁的牛顿发现了二项式定理，这对于微积分的充分发展是必不可少的一步。虽然当时无法给出二项式定理的证明，但可以肯定二项式级数展开式是研究级数论、函数论、数学分析、方程理论的有力工具。随着社会的发展，二项式定理被人们最为广泛的应用于组合原理当中。组合原理又称组合数学或组合论。它所研究的中心问题

5、是根据一定的规则来安排某些事物的有关数学问题，但组合原理中的许多问题都是数学中的精华。组合原理的应用也涉及到自然科学和社会科学的许多领域。例如，它在计算机科学、编码理论、通信网络、电子工程、实验设计、交通运输、社会经济学、管理科学等领域中都有着广泛的使用价值，特别是在计算机科学中有着重要的应用。这不仅因为它是这门学科的重要基础，更为主要的原因是计算机科学的核心是算法的研究，而组合算法是算法的重要组成部分。本文基于二项式定理的相关性，参考国内外相关文献，就二项式定理的各种证明方法、各种推广形式以及二项式定理在学科中的应用进行综述。2杨辉三角形与二项式定理的关系2.1杨辉三角提及二项式定理就不得不

6、说杨辉三角，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，南宋数学家杨辉在《详解九章算法》（1261年）记载并保存了“贾宪三角”，故称杨辉三角。杨辉三角在我国古代大多是用来作为开方的工具。直到现在，我们在代数学中学到的开平方的方法，仍然是从杨辉三角中得来的。可见，杨辉三角与二项式定理之间有着不同寻常的关系。28图2-1：开方作法本源图2-1被称为“杨辉三角”。杨辉三角并不是杨辉发明的，原来的名字也不是“三角”,而是“开方作法本源”；后来也有人称为“乘

7、法求廉图”。这些名称实在太古奥了些，所以我们简称之为“三角”。杨辉是我国宋朝时候的数学家，他在公元1261年著了一本名为《详解九章算法》的书，里面画了这样一张图，并且说这个方法出于《释锁算书》，贾宪曾经用过它。杨辉还说明了表里除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，故人们把此表称之为“杨辉三角形”或“杨辉法则”。但《释锁算书》早已失传，这书刊行的年代无从查考，是不是贾宪所著也不可知，更不知道在贾