探讨利用导数的定义及相关性质进行解题开题报告

《探讨利用导数的定义及相关性质进行解题开题报告》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、开题报告探讨利用导数的定义及相关性质进行解题　　　　　　　　　　　　　　　　一、选题的背景与意义导数的思想最初是由法国数学家费马(Fermat)为研究极值问题而引入的，但与导数概念直接相联系的是以下两个问题：已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线．这是由英国数学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼茨（Leibniz）分别在研究力学和几何学过程中建立起来的．导数是一元函数微分学中的重要概念，在数学、物理、经济等许多领域有着广泛的应用，导数与微分中值定理、Taylor公式有一定的联系，且可以判断曲线的单调性、凹凸性，求函数的极值、拐点、最值等，还可以用来求函数

2、解析式、比较大小、求数列和、求参数取值范围、解决根的分布、处理优化问题、处理函数图像的切线．二、研究的基本内容和拟解决的主要问题本论文的主要目的是通过阅读书籍和文献搜集及整理利用导数的定义和性质解题的各种计算技巧，要求在充分理解的基础上进行归类总结．首先我们来介绍一些概念：定义1:设函数在点的某邻域内有定义，若极限（1）存在，则称函数在点处可导，并称该极限为函数在点处的导数，记作．若令，，则（1）式可改写为（2）所以，导数是函数增量与自变量增量之比的极限．这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率（又称差商），而导数则为在处关于的变化率．若（1）（或（2））式极

3、限不存在，则称在点处不可导．定义2:设函数在点的某右邻域上有定义，若右极限（）存在，则称该极限值为在点的右导数，记作．类似地，我们可定义左导数．左导数和右导数统称为单侧导数．定义3:若函数在区间上每一点都可导（对区间端点，仅考虑相应的单侧导数），则称为上的可导函数.此时对每一个，都有的一个导数（或单侧导数）与之对应.这样就定义了一个在上的函数，称为在上的导函数，也简称为导数．记作，或，即，．定义4：若函数在点的某邻域内对一切有　　则称函数在点取得极大（小）值，称点为极大（小）值点．极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点．显然常量函数在任何一点

4、的导数都等于零，即．设在可导，那么是当时的无穷小量，于是，即　　　　　　　　　　　　　　　（３）我们称（３）为在点的有限增量公式．注意，此公式对仍旧成立．由公式（３）立即推出如下定理．定理1：设函数在区间上上可导，且导函数为，若在１，的极限存在，则在点连续．即．由微分中值定理，容易证明该结论成立,简单地说，对于(在上有定义)来说，有极限必连续,这是一般函数不具备的一个性质．定理2：若在上处处可导，且，则在处，在点不连续必第二类(振荡)间断．注：反之，若如果函数在某点的邻域内处处可导，则导函数在该点的左右极限存在且相等时，函数该点必可导且导函数在该点连续(定理1

5、)，而该点的一侧或两侧同时振荡，在该点可能可导．定理3：（费马定理）设函数在点的某邻域内有定义，且在点可导.若点为的极值点，则必有.我们称满足方程的点为稳定点.对于函数，点是稳定点，但却不是极值点．定理4：（导数的介值定理(达布)）设在上处处可导(端点处单侧导数)，如果对于任意间的任意实数c，至少存在一点使得成立实际上，由前面的定理1和定理2，也容易理解这个定理成立，即导函数在其定义域内任意点要么连续要么不离开导数值振荡,因此导函数无论连续与否，导数值都应“充满”导函数的值域，因此介值定理仍然成立．定理：如果函数在点处当且仅当能做出一条非垂直的切线，则称函数在

6、点处是可导的．利用以上定理可以解决以下问题：1、函数单调性的应用例证不等式：证：设函数，则有所以，函数在上单调增加，当时，，即2、求函数的极限例：设在处可导，且，，求.解：.3、求曲线的切线方程例求曲线在时的切线方程.解：故，又当时，.所以，当时，切线方程为，即.4、在解析几何中的应用例已知，函数，设，已知曲线在点处切线为.求方程.设与轴交于，证明：；若，则.解：，则处切线方程为.切线方程中，令，解得，可知，令，得当时，；当时，；当时，取得最大值.所以，当且仅当．时，　当时，，因此，有知，．5、在数列求和中的应用例求数列1,，，，的前项和.解：　　　　　　　　

7、　　6、解决与多项式有关的问题例：求满足以下条件的实数多项式（1）对于任意实数，有（2）存在某一实数，，其中为的次数．解：，特取推出推出故再由条件，得　两边同求阶导数，于是此式变为两边同时求阶导数，类似可得，故此式又变为，故由题设条件（2）易得所因为故所以所求多项式为7、证明恒等式例：求证：证明：由两边求导数得：，令得：，即证．8、证明不等式例例：证明：当时，证：设则在内的任何有限区间上均满足拉格朗日中值定理的条件，任取，则在或上应用拉格朗日中值定理，则在和之间至少存在一点使，即当时，，则，，因而有．当时，，则，，因而有．所以，当时，总有成立．三、课题的研究内

8、容及拟采取的研究方法、技术路线及研究难