高考数学复习点拨 利用导数的定义解题

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时间:2018-05-03

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1、利用导数的定义解题学习导数的定义,要结合瞬时速度、光滑曲线的切线、斜率等实际背景,从物理和几何两方面入手,熟练掌握概念的本质属性,把握其内涵与外延,才能灵活地应用概念进行解题,求导的本质是求极限,在求极限的过程中,要准确分析和把握给定的极限式与导数的关系,力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式,即导数的定义,这是能够顺利求导的关键。例1、求函数在x=1处的导数。解析1:(导数定义法),,∴。解析2:(导函数的函数值法),,∴,∴。点评:根据导数的概念求函数的导数是求导数的基本方法。确定y=f(x)在点x=x0处的导数

2、有两种方法:一是导数定义法,二是导函数的函数值法。例2、对于函数f(x),已知f(3)=2,=-2,则=。解析:∵=-2,∴=-2∴点评:解答本题的关键是通过对进行恒等变形,将其化为可以利用已知导数的定义形式。例3、设函数y=f(x)在点x=x0处可导,试求下列各极限的值。(1);(2)(3)(4)若,则等于()A.-1B.-2C.1D.解析:(1)(2)===(3)(4)∵∴===,故选C.点评:在导数的定义中,增量△x的形式是多种多样,但不论△x选择哪种形式,△y也必须选择相对应的形式。解决此类问题不能盲目地套用导数的

3、定义,要准确地分析和把握给定的极限式与导数的关系,利用函数f(x)在x=x0处可导的条件,将所求极限的形式恒等变形转化为已知极限的结构形式,即导数的定义,这是解决这类问题的关键,因此,必须深刻理解导数的概念。例4、设,试问f(x)在x=0处是否可导?解析:函数f(x)在x=0的两侧(不包括x=0在内)虽然其对应法则是用同一个式子表示的,但在x=0处其对应值为零,对应法则和两侧的不同,故按导数定义:由已知f(0)=0,即f(x)在x=0处有定义。所以f(x)在x=0处可导,即f‘(0)=0。点评:对分段表示的非初等函数,在判

4、断函数在区间的交接点处是否可导时,都应该从定义出发求其导数,当交接点的两侧函数的对应法则用不同式子表示时,应分别求函数在该点处的左右导数,看其是否存在且相等,从而决定在该点处函数是否可导。请读者判断函数,在x=0处是否连续、可导?例5、设f(x)=x(2-

5、x

6、),则的值等于()A.0B.1C.2D.不存在解析:由导数的定义知∴f‘(0)=2,故应选C.点评:此题也是求分段函数在分段点处的导数,一般要用定义求解,应防止出现以下错误:∵,∴从而f‘(0)=0。例6、设函数在x处可导,证明:=f‘(x)证明:===[f‘(x)

7、+f‘(x)]=f‘(x)点评:值得注意的是,若极限存在,f(x)在x处的导数不一定存在,读者可以从函数y=│x│在x=0处的可导性来说明这一点。但若极限存在,则f(x)在x处可导,读者可自行证明。例7、(湖南卷)曲线和在它们的交点处的两条切线与轴所围成的三角形的面积是___________.解析:由方程组得曲线的交点是A(1,1).对曲线求导数,曲线在点A处的切线斜率K1=,切线方程是l1:y=-x+2。对曲线求导数,。曲线在点A处的切线斜率K1=,切线方程是l2:y=2x-1。又l1、l2与x轴的交点坐标分别为(2,0

8、),(,0)∴它们与轴所围成的三角形的面积为:点评:本题先求曲线的交点,再由导数求过该交点曲线的切线方程,最后求得所围成的图形面积。例8、求过点(2,0)与曲线相切的直线方程。错解:设所求切线的斜率为K,则,故所求直线方程为:,即。若作出曲线及直线的图象,就可以看出所求的直线和曲线不相切。错因在于一开始就没有判定所给的点(2,0)是否在曲线上,而想当然的把该点当作切点来考虑了。事实上点(2,0)根本不在曲线上。正解:设平面上通过点(2,0)的所有直线方程(y轴除外)为:y=K(x-2),切点为(x0,y0),则在切点处,直

9、线和曲线的纵坐标相等且具有相同的斜率,因此有:,解得:K=-1,x0=1,故所求直线方程为:y=-(x-2)即y=-x+2。点评:解答此类问题常见的错误是:不能确定所给点的位置,或忽略切点既在曲线上,也在切线上这一关键条件,或受思维定势的消极影响,先设出切线方程,再利用直线和抛物线相切的条件,使得解题的运算量变大。数学问题的解决,要充分考虑题设条件,捕捉隐含的各种因素,确定条件与结论的相应关系。本节中常见的思维误区有:(1)盲目套用导数的定义;(2)对导数的几何意义不清楚;(3)在求某点的切线时,对该点的位置不明确。解题中

10、一定要注意总结,不断反思,逐步提高解题能力。

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