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1、http://www.czsx.com.cn平方根概念解题的几个技巧平方根在解题中有着重要的应用.同学们想必已经知到.但是,今天要告诉同学们的是它的几个巧妙的应用.希望对大家的学习有所帮助.一、巧用被开方数的非负性求值.大家知道，当a≥0时，a的平方根是±，即a是非负数.例1、若求yx的立方根.分析认真观察此题可以发现被开方数为非负数,即2－x≥0,得x≤2;x－2≥0,得x≥2;进一步可得x=2.从而可求出y=－6.解∵,∴x=2;当x=2时,y=－6.yx=(－6)2=36.所以yx的立方根为
2、.二、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.我们知道，当a≥0时，a的平方根是±，而例2、已知：一个正数的平方根是2a－1与2－a，求a的平方的相反数的立方根.分析由正数的两平方根互为相反得:(2a－1)+(2－a)=0,从而可求出a=－1,问题就解决了.解∵2a－1与2－a是一正数的平方根,∴(2a－1)+(2－a)=0,a=－1.a的平方的相反数的立方根是三、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道,即a=0时其值最小,换句话说的最小值是零.例3、已知：y=,当a、b取不同的值时，y也有不同的值
3、.当y最小时,求ba的非算术平方根.分析y=,要y最小，就是要和最小，而≥0，≥0，显然是=0和=0，可得a=2,b=－1.解∵≥0，≥0，y=，∴=0和=0-7-http://www.czsx.com.cn时，y最小.由=0和=0，可得a=2,b=－1.所以ba的非算术平方根是四、巧用平方根定义解方程.我们已经定义:如果x2=a（a≥0）那么x就叫a的平方根.若从方程的角度观察,这里的x实际是方程x2=a（a≥0）的根.例4、解方程（x+1）2=36.分析把x+1看着是36的平方根即可.解∵（x
4、+1）2=36∴x+1看着是36的平方根.x+1=±6.∴x1=5,x2=－7.例4实际上用平方根的定义解了一元二次方程(后来要学的方程).你能否解27(x+1)3=64这个方程呢?不妨试一试.利用平方根的定义及性质解题如果一个数的平方等于a（a≥0），那么这个数是a的平方根．根据这个概念，我们可以解决一些和平方根有关的问题．例1已知一个数的平方根是2a－1和a－11，求这个数．分析：根据平方根的性质知：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．互为相反数的两个数的和为零．解：由2a－1+a－11=
5、0，得a=4，所以2a－1=2×4－1=7．所以这个数为72=49．例2已知2a－1和a－11是一个数的平方根，求这个数．分析：根据平方根的定义，可知2a－1和a－11相等或互为相反数．当2a－1=a－11时，a=－10，所以2a－1=－21，这时所求得数为(－21)2=441;当2a－1+a－11=0时,a=4,所以2a－1=7,这时所求得数为72=49.综上可知所求的数为49或441.-7-http://www.czsx.com.cn例3已知2x－1的平方根是±6,2x+y－1的平方根是±5,
6、求2x－3y+11的平方根.分析:因为2x－1的平方根是±6,所以2x－1=36,所以2x=37;因为2x+y－1的平方根是±5,所以2x+y－1=25,所以y=26－2x=－11,所以2x－3y+11=37－3×(－11)+11=81,因为81的平方根为±9,所以2x－3y+11的平方根为±9.例4若2m－4与3m－1是同一个数的平方根，则m为（）（A）－3（B）1（C）－3或1（D）－1分析：本题分为两种情况：（1）可能这个平方相等，即2m－4=3m－1，此时，m=－3；（2）一个数的平方根有
7、两个，它们互为相反数，所以（2m－4）+（3m－1）=0，解得m=1．所以选（C）．练一练:1.已知x的平方根是2a－13和3a－2,求x的值.2.已知2a－13和3a－2是x的平方根,求x的值3.已知x+2y=10,4x+3y=15,求x+y的平方根.答案:1.49;2.49或1225;3..-7-http://www.czsx.com.cn估计方根的取值，你会吗在实数的学习中，关于估计方根的取值问题屡见不鲜．解答它们，要注意灵活利用平方根或立方根的定义，从平方或立方入手．例１ 不求的值，正确的
8、是（ ）（A）3.15＜＜3.16 （B）3.16＜＜3.17（C）3.17＜＜3.18 （D）3.18＜＜3.19.分析：表示10的算术平方根，要确定在3.15、3.16、3.17、3.18、3.19当中的哪两个数之间，只需看看10在这五个数的哪两个数的平方之间.解：计算知，.所以＜10＜.所以3.16＜＜3.17，应选B.例2 估计68的立方根的大小在()（A）2与3之间 （B）3与4之间（C）4与5之间 （D）5与6之间.分析：要估计68的立方根的大小在哪两
