探讨利用导数的定义及相关性质进行解题文献综述

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1、文献综述探讨利用导数的定义及相关性质进行解题一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念，综述范围，简要说明有关主题的或争论焦点） 本论文的主要目的是通过阅读书籍和文献搜集及整理利用导数的定义和性质解题的各种计算技巧，要求在充分理解的基础上进行归类总结．首先我们来介绍一些概念：定义1:设函数在点的某邻域内有定义，若极限（1）存在，则称函数在点处可导，并称该极限为函数在点处的导数，记作．令，，则式可改写为（2）所以，导数是函数增量与自变量增量之比的极限．这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率（又称差商），而导数则为在处关于的变化率．若（1）（或（2））式极限不存在，则称在点处不可导．

2、定义2:设函数在点的某右邻域上有定义，若右极限（）存在，则称该极限值为在点的右导数，记作．类似地，我们可定义左导数．左导数和右导数统称为单侧导数．定义3:若函数在区间上每一点都可导（对区间端点，仅考虑相应的单侧导数），则称为上的可导函数.此时对每一个，都有的一个导数（或单侧导数）与之对应.这样就定义了一个在上的函数，称为在上的导函数，也简称为导数．记作，或，即，．定义4：若函数在点的某邻域内对一切有　　则称函数在点取得极大（小）值，称点为极大（小）值点．极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点．通过以上导数的定义，我们将讨论导数的性质，并利用各种性质解题和解决实际问

3、题．二、主题部分（阐明有关主题的历史背景，现状和发展方向，以及对这些问题的评述）导数的思想最初是由法国数学家费马(Fermat)为研究极值问题而引入的，但与导数概念直接相联系的是以下两个问题：已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线．这是由英国数学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼茨（Leibniz）分别在研究力学和几何学过程中建立起来的．导数是一元函数微分学中的重要概念，在数学、物理、经济等许多领域有着广泛的应用，导数与微分中值定理、Taylor公式有一定的联系，且可以判断曲线的单调性、凹凸性，求函数的极值、拐点、最值等，还可以用来求函数解析式、比较大小、求数列和、求参数取值

4、范围、解决根的分布、处理优化问题、处理函数图像的切线．显然常量函数在任何一点的导数都等于零，即．设在可导，那么是当时的无穷小量，于是，即　　　　　　　　　　　　（3）我们称（3）为在点的有限增量公式．注意，此公式对仍旧成立.由公式（3）立即推出如下定理.定理1：设函数在区间上上可导，且导函数为，若在，的极限存在，则在点连续．即．由微分中值定理，容易证明该结论成立,简单地说，对于(在上有定义)来说，有极限必连续,这是一般函数不具备的一个性质．定理2：若在上处处可导，且，则在处，在点不连续必第二类(振荡)间断．证明：(反证法)假设(1)(由定理1知)该点处不可能为可去间断点，点为的第一

5、类(跳跃)间断点，(2)若点为的在第二类(无穷)间断点．(1)设，，且，则,同理有，与已知矛盾．若在点为第二类(无穷)间断点，则，中至少有一个为，但是由(1)的证明，这与存在矛盾，综上，证毕．注：反之，若如果函数在某点的邻域内处处可导，则导函数在该点的左右极限存在且相等时，函数该点必可导且导函数在该点连续(定理1)，而该点的一侧或两侧同时振荡，在该点可能可导．定理3：费马定理：设函数在点的某邻域内有定义，且在点可导.若点为的极值点，则必有我们称满足方程的点为稳定点.对于函数，点是稳定点，但却不是极值点．定理4：导数的介值定理(达布)：设在上处处可导(端点处单侧导数)，如果对于任意间

6、的任意实数c，至少存在一点使得成立.证明：作辅助函数显然在上处处可导，且，.因为.所以由保号性知在的附近有成立.同理,在的附近有成立.所以,连续函数在内取得最小值.由定理得．实际上，由前面的定理1和定理2，也容易理解这个定理成立，即导函数在其定义域内任意点要么连续要么不离开导数值振荡,因此导函数无论连续与否，导数值都应“充满”导函数的值域，因此介值定理仍然成立．下面我们介绍导数的几何意义：1、几何意义：函数在点的导数等于函数在这点的切线的斜率．2、引理：凡可导函数一定是连续函数．3、推论：若函数在点处不连续，则在此点也是不可导的．定理：如果函数在点处当且仅当能做出一条非垂直的切线，

7、则称函数在点处是可导的．证明：（充分性）：由题设已知函数在点有一条非垂直的切线，设此切线的倾斜角为，（），斜率，由导数的定义可知，，即函数在点是可导的．（必要性）：假设函数在点可导，在点能做左、右两条切线，设其倾斜角是且，则对应的斜率为且，由导数的几何意义可知，斜率等于点的左、右导数，所以在点的左、右导数不相等，由导数的判定可知函数在点不存在导数，产生矛盾．假设函数在点可导，能做无数条切线，则说明点是个孤立点，即函数在点是间断的，由推论可知，函数在点应是连续的，与题设