三角函数的值域与最值-张素云

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1、课题：3.7三角函数的值域与最值教案编号备课人张素云使用时间维目标1•掌握三角函数的值域与最值的求法，能运用三角函数最值解决实际问题；2•求三角函数值域与最值的常用方法：（1）化为一个角的同名三角函数形式，利用函数的有界性或单调性求解；（2）化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式,利用配方法或图像法求解；（3）借助直线的斜率的关系用数形结合求解；（4）换元法.教学重点三角函数的值域与最值的求法，能运用三角函数最值解决实际问题教学难点三角函数的值域与最值的求法，能运用三角函数最值解决实际问题教学方法讲练结合教学过程【基础练习】1•函数y=sinx+

2、Jicosx在区间［0,3上的最小值为1・231—2.函数f（x）=cos%——cos2x（兀wR）的最大值等于4.3•函数y=tan（—-%）（-—<%<—且兀炉⑦厂附川萨啾是244•4.当0vxv"时，函数f&）_l+cos2x+8sinU的最小值为彳・2sin2x5•已知AV—4,则函数尸cos2x+&（cosjv—1）的最小值是1•6.若20+0=%,则y二cos0-6sina的最大值与最小值之和为【范例解析】例1.(1)已知sin兀+siny=1,求sin)?-cos2x的最大值与最小值.*3(2)求函数y=sinx•cosx4-sinx

3、+cosx的最大值.分析：可化为二次函数求最值问题.12解：(1)由已知得:siny=——sinx,vsinye[-1,1],贝Osinxe[——,1].・•・siny一cos2x=(sinx一—)2,当sinx=丄时，siny一cos2兀有最小值2122；当sinx=-2时,siny-cos?x有最小值乡・1239(2)设sinx+cosx=r(-V2/2),贝Usinxcosx=-——-,贝Uy=—t2+t~—,当/=J^时，y有最大值为丄+血.222点评：第(1)小题利用消元法，第(2)小题利用换元法最终都转化为二次函数求最值问题；但

4、要注意变量的取值范围.例2.求函数y=―(0V3或yW-VJ(舍)，所以y的最小值为VLy=-一(0

5、从结构出发利用斜率公式，结合图像求解./、例3.己知函数/(%)=2sin2—+x-命cos2兀,(4丿(T)求/(x)的最大值和最小值;(II)若不等式

6、/(x)-m

7、<2在兀w污上恒成立，求实数税的取值范围・分析：观察角，单角二次型，降次整理为asinx+bcos兀形式.解：(I)V/(x)==1+2sinT•兀71—,—42・・/(兀)nwc-3,1一cos—+2x-屈cos2x=1+sin2x-的cos2x・・・严2_严辛，即2Wl+2si』2ZW3,(II)V<2<=>f(x)-2/(x)max一2且m<

8、/(%)min+2,/.1<77?<4,即加的取值范围是(1,4).7171—,—42点评：第(II)问属于恒成立问题，可以先去绝对值，利用参数分离转化为求最值问题.木小题主要考查三角函数和不等式的基木知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力.例4.扇形AOB的半径为1,中心角为60。，PQRS是扇形的内接矩形,问P在怎样的位置时，矩形PQRS的面积最大，并求出最大值.分析：引入变量ZAOP=x,建立目标函数.解：连接OP,设=贝iJPS=sinx,OS=cosxf/?S=cosx-—sinx.3A・•・S=(cossin^)sin^

9、=—sin(2x+3366•••。—<彳，所以当“彳吋，p在圆弧中心位置，s“¥点评：合理引进参数，利用已知条件，结合图形建立面积与参数之间的函数关系式，这是解题的关键.布置作业学案3.7三角函数的值域与最值板书基础练习例1例2例3.设计反馈演练解析解析解析课后1•利用换元法最终都转化为二次函数求最值问题时要注意变量的取值范围。2•恒成立问题，利用参数分离转化为求最值问题.本节课主要考查三角函数和反思不等式的基木知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力.注：1、课题字体：黑体小二加粗2、栏目字体：仿宋四号加粗3、内容字体：宋体小四