3.7三角函数的值域与最值

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1、课题：3.7三角函数的值域与最值教案编号020备课人罗广志使用时间三维目标1.掌握三角函数的值域与最值的求法，能运用三角函数最值解决实际问题；2.求三角函数值域与最值的常用方法：（1）化为一个角的同名三角函数形式，利用函数的有界性或单调性求解；（2）化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法或图像法求解；（3）借助直线的斜率的关系用数形结合求解；（4）换元法．教学重点三角函数的值域与最值的求法，能运用三角函数最值解决实际问题教学难点三角函数的值域与最值的求法，能运用三角函数最值解决实际问题教学方法讲练结合教学过程【基础练习】1.函数在区间上的最小值为1

2、．2.函数的最大值等于．3.函数且的值域是___________________．4.当时，函数的最小值为4．5.已知k＜－4，则函数y＝cos2x＋k(cosx－1)的最小值是1．6.若，则第4页共4页的最大值与最小值之和为____2____．【范例解析】例1.（1）已知，求的最大值与最小值．（2）求函数的最大值．分析：可化为二次函数求最值问题．解：（1）由已知得：，，则．，当时，有最小值；当时，有最小值．（2）设，则，则，当时，有最大值为．点评：第（1）小题利用消元法，第（2）小题利用换元法最终都转化为二次函数求最值问题；但要注意变量的取值范围．例2.求函数

3、的最小值．分析：利用函数的有界性求解．解法一：原式可化为，得，即，故，解得或（舍），所以的最小值为．解法二：表示的是点与连线的斜率，其中点B在左半圆上，由图像知，当AB与半圆相切时，最小，此时，所以的最小值为．点评：解法一利用三角函数的有界性求解；解法二从结构出发利用斜率公式，结合图像求解．例3.已知函数，．第4页共4页（I）求的最大值和最小值；（II）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．分析：观察角，单角二次型，降次整理为形式．解：（Ⅰ）．又，，即，．（Ⅱ），，且，，即的取值范围是．点评：第（Ⅱ）问属于恒成立问题，可以先去绝对值，利用参数分离转化为求最值问题

4、．本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力．ABORSPQ例4例4．扇形的半径为1，中心角为，是扇形的内接矩形，问在怎样的位置时，矩形的面积最大，并求出最大值．分析：引入变量，建立目标函数．解：连接，设，则，，．，，所以当时，在圆弧中心位置，．第4页共4页点评：合理引进参数，利用已知条件，结合图形建立面积与参数之间的函数关系式，这是解题的关键．布置作业学案板书设计3.7三角函数的值域与最值基础练习例1例2例3.解析解析解析反馈演练课后反思1.利用换元法最终都转化为二次函数求最值问题时要注意变量的取值范围。2.恒成

5、立问题，利用参数分离转化为求最值问题．本节课主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力．注：1、课题字体：黑体小二加粗2、栏目字体：仿宋四号加粗3、内容字体：宋体小四第4页共4页