19 三角函数的值域与最值

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1、【2012高考数学理科苏教版课时精品练】第五节三角函数的值域与最值1．函数y＝sin(2x＋)＋cos(2x＋)的最小正周期和最大值分别为________．解析：∵y＝sin(2x＋)＋cos(2x＋)＝sin(2x＋)＋cos(2x＋＋)＝sin(2x＋)＋cos(2x＋)cos－sin(2x＋)sin＝sin(2x＋)＋cos(2x＋)＝sin(2x＋)＝cos2x.∴T＝＝π，ymax＝1.答案：π，12．函数y＝asinx－b的最大值为1，最小值为－7，则a＝________，b＝_____

2、___.解析：当a>0时，⇒当a<0时，⇒答案：±4　33．(2011年常州测试)如果函数f(x)在区间D上是“凸函数”，则对于区间D内任意的x1，x2，…，xn，有≤f()成立．已知函数y＝sinx在区间[0，π]上是“凸函数”，则在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是________．解析：∵y＝sinx是凸函数，∴≤sin()＝sin，即sinA＋sinB＋sinC≤3sin＝.答案：4．f(x)＝(0≤x≤2π)的值域是________．解析：原解析式可化简为y＝－＝－＝－＝－

3、(其中sinx≠1)．①由数形结合思想得可理解为动点(－sinx，cosx4)与定点(1,1)连线斜率的取值范围，可得范围是[0，＋∞)，由此可求得①式值域为[－1,0)．当sinx＝1时，y＝0，所以值域是[－1,0]．答案：[－1,0]5．函数y＝sinx(sinx＋cosx)的最大值为________．解析：∵y＝sinx(sinx＋cosx)＝sin2x＋sinxcosx＝＋sin2x＝sin(2x－)＋.∴ymax＝1＋＝.答案：6．(2010年高考福建卷)已知函数f(x)＝3sin(ω＞

4、0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈[0，]，则f(x)的取值范围是________．解析：由对称轴完全相同知两函数周期相同，∴ω＝2，∴f(x)＝3sin(2x－)．由x∈[0，]，得－≤2x－≤π，∴－≤f(x)≤3.答案：[－，3]7．(2011年无锡调研)已知向量m＝(sinA，cosA)，n＝(，－1)，m·n＝1且A为锐角，则函数f(x)＝cos2x＋4cosAsinx的值域是________．解析：由题意得m·n＝sinA－cosA＝1，∴2sin(A

5、－)＝1，sin(A－)＝.由A为锐角得A－＝，∴A＝.知cosA＝，∴f(x)＝cos2x＋2sinx＝1－2sin2x＋2sinx＝－2(sinx－)2＋.∵sinx∈[－1,1]，故当sinx＝时，f(x)有最大值，当sinx＝－1时，f(x)有最小值－3，∴所求函数f(x)的值域是[－3，]．4答案：[－3，]8．函数f(x)＝－sin2x＋sinx＋a，若对x∈R,1≤f(x)≤恒成立，则a的取值范围为________．解析：∵f(x)＝－sin2x＋sinx＋a＝－2＋a＋.－2＋a＋，

6、t∈[－1,1]．∴t＝－1时，f(x)min＝a－2；t＝时，f(x)max＝a＋.由题意知∴∴3≤a≤4.答案：[3,4]9．(2010年扬州高三第一学期期末)已知函数f(x)＝－2sin2x＋2sinxcosx＋1.(1)求f(x)的最小正周期及对称中心；(2)当x∈[－，]时，求f(x)的最大值和最小值．解：f(x)＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)．(1)f(x)的最小正周期为T＝＝π.令sin(2x＋)＝0，则x＝－(k∈Z)，∴f(x)的对称中心为(－，0)(k∈Z)．(2)

7、∵x∈[－，]，∴－≤2x＋≤，∴－≤sin(2x＋)≤1，∴－1≤f(x)≤2.∴当x＝－时，f(x)取得最小值为－1；当x＝时，f(x)取得最大值为2.10．设函数f(x)＝2mcos2x－2msinx·cosx＋n(m>0)的定义域为[0，]，值域为[1,4]．(1)求m，n的值；(2)若f(x)＝2，求x的值．解：(1)f(x)＝m(1＋cos2x)－msin2x＋n＝2mcos(2x＋)＋m＋n.∵x∈[0，]，∴2x＋∈[，]，cos(2x＋)∈[－1，]，4∵m>0，∴2mcos(2x

8、＋)∈[－2m，m]，∴f(x)max＝2m＋n＝4，f(x)min＝－m＋n＝1，∴m＝1，n＝2.(2)由(1)可知，m>0时，f(x)＝2cos(2x＋)＋3＝2，∴cos(2x＋)＝－，又x∈[0，]，∴x＝或x＝.11．(探究选做)已知a＝(sinx，－cosx)，b＝(cosx，cosx)，函数f(x)＝a·b＋.(1)求f(x)的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；(2)当0≤x≤时，求函数f(x)的值域．解：(1)f(x)＝sinxcosx－cos2