2018-2019学年高中数学第三章推理与证明2数学证明学案北师大版选修

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1、§2　数学证明学习目标　1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．知识点一　演绎推理的含义思考　分析下面几个推理，找出它们的共同点．(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除．答案　问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理叫演绎推理．梳理定义从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理特点由一般到特殊的推理知识点二　三段论思考　所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜

2、能导电，这个推理可以分为几段？每一段分别是什么？答案　分为三段．大前提：所有的金属都能导电；小前提：铜是金属；结论：铜能导电．梳理一般模式常用格式大前提已知的一般原理M是P小前提所研究的特殊情况S是M结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断S是P类型一　演绎推理与三段论例1　将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的两底角，则∠A＝∠B；(3)通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列．解　(1)平行四边形的对角线互相平分，大前提菱形是平行四边形，小前提菱形

3、的对角线互相平分．结论(2)等腰三角形的两底角相等，大前提∠A，∠B是等腰三角形的两底角，小前提∠A＝∠B.结论(3)在数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列，大前提当通项公式为an＝2n＋3时，若n≥2，则an－an－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)，小前提通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列．结论反思与感悟　用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都

4、省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．跟踪训练1　(1)推理：“①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③所以正方形是平行四边形”中的小前提是________．(填序号)(2)函数y＝2x＋5的图像是一条直线，用三段论表示为大前提：________________________________________________________________________；小前提：________________________________________________________________________；结论：_______________

5、_________________________________________________________.答案　(1)②(2)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图像是一条直线函数y＝2x＋5是一次函数函数y＝2x＋5的图像是一条直线类型二　三段论的应用例2　如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF，写出三段论形式的演绎推理．证明　因为同位角相等，两直线平行，大前提∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提所以FD∥AE.结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DE∥BA，且FD∥AE，小前提所以四边形AFD

6、E为平行四边形．结论因为平行四边形的对边相等，大前提ED和AF为平行四边形AFDE的对边，小前提所以ED＝AF.结论反思与感悟　(1)用“三段论”证明命题的格式(2)用“三段论”证明命题的步骤①理清证明命题的一般思路；②找出每一个结论得出的原因；③把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来．跟踪训练2　已知：在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，如图所示，求证：EF∥平面BCD.证明　因为三角形的中位线平行于底边，大前提点E，F分别是AB，AD的中点，小前提所以EF∥BD.结论若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行，大前提EF平面BCD，BD平面

7、BCD，EF∥BD，小前提所以EF∥平面BCD.结论例3　设函数f(x)＝，其中a为实数，若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．解　若函数对任意实数恒有意义，则函数定义域为R，大前提因为f(x)的定义域为R，小前提所以x2＋ax＋a≠0恒成立．结论所以Δ＝a2－4a<0，所以0