高中数学 第三章 推理与证明 第2节 数学证明学案 北师大版选修1-2

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1、§2　数学证明1．理解演绎推理的概念．2．掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单的推理．3．了解合情推理与演绎推理的联系与区别．1．合情推理的结论有时是不正确的，对于数学命题，需要通过__________严格证明．2．________是最常见的一种演绎推理形式．第一段讲的是一般性道理，称为________；第二段讲的是研究对象的特殊情况，称为________；第三段是由大前提和小前提作出的判断，称为______．先表述大前提、小前提，由此给出结论，即为________推理的形式．大前提、小前提都正确，得到的结论才正确，二者中有一个错误，结论不正确．在应用

2、三段论证明的过程中，因为作为一般性道理的大前提都熟知，所以书写时往往省略这类大前提．【做一做1－1】因为指数函数都是增函数，函数y＝x是指数函数，所以函数y＝x是增函数．上述推理错误的原因是(　　)．A．大前提不正确B．小前提不正确C．推理形式不正确D．大、小前提都不正确【做一做1－2】三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②所以这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的”中的小前提是__________．3．在数学中，证明一个命题，就是根据命题的条件和已知的定义、公理、定理，利用________的法则将命题推导出来．4．__________是认识世

3、界、发现问题的基础；________是证明命题、建立理论体系的基础．答案：1．演绎推理2．三段论　大前提　小前提　结论　三段论【做一做1－1】A　对指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)来说，当a＞1时是增函数，当0＜a＜1时是减函数，所以大前提不正确．【做一做1－2】③3．演绎推理4．合情推理　演绎推理1．三段论推理的依据剖析：三段论的论断基础是这样一个公理：“凡肯定(或否定)了某一类对象的全部，也就肯定(或否定)了这一类对象的各部分或个体．”简言之：“全体概括个体．”要得到一个正确的结论，大前提和小前提都必须正确，二者中一个有错误，结论就不正确，如所有的动物都用肺

4、呼吸，鱼是动物，所以鱼用肺呼吸，此推理显然错误，错误的原因是大前提错了．再如所有的能被2整除的数是偶数，合数是偶数，所以合数能被2整除．错误的原因是小前提错了．2．合情推理与演绎推理的区别与内在联系剖析：(1)合情推理是根据特殊的事物、事例，凭个人的经验和直觉等推测一般性结论的推理过程，归纳推理与类比推理是合情推理的两种方法，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，是科学发现和创造的基础．(2)演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑推理得到新结论的推理过程，演绎推理有利于提高严密的逻辑思维能力．(3)从推理形式上看

5、，归纳推理是由部分到整体、特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理，而演绎推理则是由一般到特殊的推理．(4)从推理所得的结论来看，合情推理所得的结论不一定正确，有待于进一步证明；而演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．(5)合情推理与演绎推理是相辅相成的．合情推理是认识世界，发现问题、数学结论和证明问题的方法与思路的重要途径，演绎推理是证明数学命题、建立数学体系的重要思维过程，它们各有利弊，各有千秋，是两种重要的推理形式，我们不仅要学会证明、解答问题，更重要的是学会发现、探索问题，所以两种推理都要学会、掌握．题型一利用三段论证

6、明问题【例题1】梯形的两腰和一底如果相等，则它的对角线必平分另一底上的两个角．已知：在如图所示的梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝DC＝AB，AC和BD是它的对角线．求证：AC平分∠BCD，BD平分∠CBA.分析：本题可由三段论逐步推理论证．反思：命题的推理证明为多个三段论，称为复合三段论．事实上，每一次三段论的大前提可不写出，某一次三段论的小前提如果是它前面某次三段论的结论，也可不再写出，即过程可简写．题型二用三段论的简写形式证明【例题2】如图所示，A，B，C，D四点不共面，M，N分别是△ABD和△BCD的重心．求证：MN∥平面ACD.分析：证明线面平行，关键是

7、在面内找到一条直线与已知直线平行，本题是三段论证明的应用．反思：本题为一个三段论推理的问题，可以简写，遵循的原则是：如果a⇒b，b⇒c，则a⇒c.题型三通过计算推理证明【例题3】已知正数数列{an}的前n项和Sn＝，bn＝an(n∈N＋)．(1)求证：数列{an}是等差数列；(2)定理：若函数f(x)在区间D上是凹函数，且f′(x)存在，则当x1＞x2(x1，x2∈D)时，总有＜f′(x1)．已知函数y＝xn＋1(n∈N＋)是(0，＋∞)上的凹函数，请根据上述定理证明bn＜bn＋1.分析：本题综合了数列、函数、导函数、不等式等问题，在定理的基础上进行论证推理，需要

8、通过计算f