高中数学选修2-2推理与证明-直接证明与间接证明.docx

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1、2.2.1　综合法和分析法[学习目标]　1.了解直接证明的两种基本方法：分析法与综合法.2.了解分析法和综合法的思维过程和特点.3.会用分析法、综合法证明实际问题.知识点一　综合法1.定义一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.2.基本模式综合法的证明过程如下：⇒…⇒…⇒即用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法用框图可表示为：→→→…→3.综合法的证明格式因为…，所以…，所以…，…，所以…成立.思考　综合

2、法的推理过程是合情推理还是演绎推理？答案　演绎推理.知识点二　分析法131.分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法.2.基本模式用Q表示要证明的结论，P表示条件，则分析法可用框图表示为：→→→…→3.分析法的证明格式要证…，只需证…，只需证…，…，因为…成立，所以…成立.思考　分析法与综合法有哪些异同点？答案　相同点：两者都是直接利用原命题的条件(或结论)，逐步推得命题成立的证明方法——直接

3、证明法.不同点：证法1，由因导果，使用综合法；证法2，执果索因，使用分析法.题型一　综合法的应用例1　已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：＋≥4.证明　方法一　∵a，b是正数，且a＋b＝1，∴a＋b≥2，∴≤，∴＋＝＝≥4.方法二　∵a，b是正数，∴a＋b≥2>0，＋≥2>0，∴(a＋b)≥4.又a＋b＝1，∴＋≥4.13方法三　＋＝＋＝1＋＋＋1≥2＋2＝4.当且仅当a＝b时，取“＝”号.反思与感悟　利用综合法证明问题的步骤：(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，

4、选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法.(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路.(3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结优化解法.跟踪训练1　已知a，b，c∈R，且它们互不相等，求证a4＋b4＋c4＞a2b2＋b2c2＋c2a2.证明　∵a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，a4＋c4≥2a2c2，∴2(a4＋b4＋c4)≥

5、2(a2b2＋b2c2＋c2a2)，即a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.又∵a，b，c互不相等.∴a4＋b4＋c4＞a2b2＋b2c2＋c2a2.题型二　分析法的应用例2　已知a＞5，求证－＜－.证明　要证－＜－，只需证＋＜＋，只需证(＋)2＜(＋)2，只需证2a－5＋2＜2a－5＋2，只需证＜，只需证a2－5a＜a2－5a＋6，只需证0＜6.因为0＜6恒成立，所以－＜－成立.13反思与感悟　分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为一个明显成立的条件.利用分析法证明

6、时，要求一般格式要规范，其关键词“要证”“只需证”等不能漏掉，这是用分析法证题易忽视的地方.跟踪训练2　若a，b，c是不全相等的正数,求证lg＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lgc.证明　方法一(分析法)要证lg＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lgc，即证lg＞lg(abc)，只需证··＞abc.∵≥＞0，≥＞0，≥＞0，∴··≥abc＞0成立.(*)又∵a，b，c是不全相等的正数，∴(*)式等号不成立，∴原不等式成立.方法二(综合法)∵a，b，c∈R＋，∴≥＞0，≥＞0，≥＞0.又∵a，b，c是不全相等的正数，∴··＞abc，

7、∴lg＞lg(abc)，13∴lg＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lgc.题型三　综合法和分析法的综合应用例3　已知a、b、c是不全相等的正数，且0abc.由公式≥>0，≥>0，≥>0，又∵a，b，c是不全相等的正数，∴··>＝abc.即··>abc成立.∴logx＋logx＋logx

8、xb＋logxc成立.反思与感悟　综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得