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《高中数学第2章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1直接证明课堂导学案苏教版选修1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.2.1综合法和分析法课堂导学三点剖析各个击破一、利用综合法证明数学问题【例1】如右图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,求证:PC⊥BD.证明：(综合法)因为PA是平面ABCD的垂线,PC是平面ABCD的斜线,连结AC、BD,则AC是PC在底面ABCD内的射影.又因为四边形ABCD为正方形.∴AC⊥BD.故PC⊥BD.温馨提示本例图形具有很多性质,从不同的审视角度去分析,可以得到多个证明方法,如可以转化为线面垂直来证线线垂直,也可以用向量来证明(因为图形中有AB、AD、AP两两垂直的基向量)等
2、等.一般地,对于命题“若A则D”用综合法证明时，思考过程可表示为(如右图).综合法的思考过程是由因导果的顺序，是从A推演达到D的途径，但由A推演出的中间结论未必唯一，如B、B1、B2等，可由B、B1、B2能推演出的进一步的中间结论则可能更多，如C、C1、C2、C3、C4等等.最终,能有一个(或多个)可推演出结论D即可.类题演练1用综合法证明,设a＞0,b＞0,a≠b.证明:＞.证明：综合法因为a≠b，所以a-b≠0，而（a-b）2＞0，展开（a-b）2得：a2-2ab+b2＞0.两边加上4ab得：a2+2ab+b2＞4ab.左边
3、写成（a+b）2得：（a+b）2＞4ab.由于a＞0,b＞0,两边取算术平方根得：a+b＞2.两边除以2得：.变式提升 1已知a＞b＞0,求证:＜.证明：∵a＞b＞0，∴b＜,即2b＜2.进而-2＜-2b,于是a-2+b＜a+b-2b,即0＜()2＜a-b,∴.二、利用分析法证明数学问题【例2】求证:.证法一：为了证明,∵,∴只需证明()2＜(2+)2,展开得11+＜11+,只需证＜,只需证6＜7.显然6＜7成立.∴成立.证法二:为了证明,只要证明,只要证明.∵,∴∴成立.∴成立.温馨提示用分析法思考数学问题的顺序可表示为:(对
4、于命题“若A则D”)如右图,分析法的思考顺序是执果索因的顺序，是从D上溯寻其论据,如C、C1、C2等,再寻求C、C1、C2的论据,如B、B1、B2、B3、B4等等,继而寻求B、B1、B2、B3、B4的论据,如果其中之一B的论据恰为已知条件,于是命题已经得证.类题演练2已知a、b、c是不全相等的正数,且0＜x＜1.求证:logx+logx+logx＜logxa+logxb+logxc.证明：要证明logx+logx+logx＜logxa+logxb+logxc,只需要证明logx［··］＜logx(abc).由已知0＜x＜1,只需
5、证明··＞abc.由公式知≥＞0,≥＞0,≥＞0.∵a、b、c不全相等，上面三式相乘，··＞=abc,即··＞abc成立,∴logx+logx+logx＜logxa+logxb+logxc成立.变式提升 2设a,b∈R+,且a≠b,求证:a3+b3＞a2b+ab2.证明：要证a3+b3＞a2b+ab2成立，只需证（a+b）(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立,又因a+b＞0,只需证a2-ab+b2＞ab成立.又需证a2-2ab+b2＞0成立.即需证(a-b)2＞0成立.而依题设a≠b，则（a-b）2＞0显然成立.由此命题得证
6、.三、创新应用【例3】设a、b、c为任意三角形三边长,I=a+b+c,S=ab+bc+ca,试证3S≤I2＜4S.证明：I2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=a2+b2+c2+2S.故要证3S≤I2＜4S,只需证3S≤a2+b2+c2+2S＜4S,即S≤a2+b2+c2＜2S(这对于保证结论成立是充分必要的).欲证上左部分,只需证a2+b2+c2-ab-bc-ca≥0.即只需证(a2+b2-2ab)+(b2+c2-2bc)+(c2+a2-2ca)≥0(这对于保证前一定结论成立也是充要的).要证上成立,
7、可证三括号中子都不为负(这一条件对保证上结论成立是充分的,但它并不必要),注意到:a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,b2+c2-2bc=(b-c)2≥0,c2+a2-2ca=(c-a)2≥0,故结论真.欲证上右部分,只需证:a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca＜0,即要证:(a2-ab-ac)+(b2-bc-ba)+(c2-ca-cb)＜0.欲证上,则至少要证以上三个括号中子之一小于零(这一条件对保证上结论成立只是必要的,但它并不充分),即要证a2＜ab+ac,b2＜bc+ba,c2＜ca+cb之一真,也就是要证a＜b+
8、c,b＜c+a,c＜a+b之一真,它们显然都成立,因为三角形一边小于其他两边和.故原成立.温馨提示在本例中,我们既看到按结论成立的充分条件推演的步子,也看到按结论成立必要条件而推演的步子,同时也看到按结论成立的充要条件而推演的步子.类题演练3设实数a≠0,且函数
