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《高中数学第2章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1直接证明知识导航学案苏教版选修1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.2.1直接证明知识梳理1.直接从原命题的条件逐步推得命题成立的，这种证明称为___________________（directproof).2.从已知条件出发，以已知的________________________________为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法称为综合法.3.从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件与已知条件吻合为止.这种证明方法称为___________________.知识导学综合法的基本思路是“由因导果”即从已知看可知，再逐步推向未知的方法.若用P表示已知条
2、件，已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：分析法的基本思路是：从未知看需知，再逐步靠近已知，若用P表示已知条件，Q表示所要证明的结论，则分析法的框图可以表示为疑难突破1.综合法与分析法的异同点：综合法与分析法是两种不同的证明方法，但它们都是直接证法，都属于演绎推理，几何学中的定理和数学问题中的证明，大部分都采用综合法和分析法.综合法与分析法的不同之处是：综合法是“由因导果”，而分析法则是“执果索因”.分析法便于我们去找思路，而综合法便于过程的叙述.2.证明与推理之间的联系和区别.（1）联系：证明过程其实就是推理
3、的过程.就是把论据作为推理的前提，应用正确的推理形式，推出论题的过程.一个论证可以只含一个推理，也可以包含一系列的推理；可以只是用演绎推理，或只用归纳推理，也可以综合运用演绎推理和归纳推理，所以证明就是推理，是一种特殊形式的推理.（2）区别：（ⅰ）从结构上看，推理包含前提和结论两部分，前提是已知的，结论，是根据前提推出来的；而证明是由论题、论据、论证三部分组成的.论题相当于推理的结论,是已知的，论据相当于推论的前提.（ⅱ）从作用上看，推理只解决形式问题，对于前提和结论的真实性是管不了的.而证明却要求论据必须是真实的，论题经过证明后其真实性是确信
4、无疑的.典题精讲【例1】已知a、b、c∈R+,且a+b+c=1,求证：（-1)(-1)(-1)≥8.思路分析：这是一个条件不等式的证明问题，要注意观察不等式的结构特点和条件a+b+c=1的合理应用.可用综合法和分析法两种方法证明.证明：(方法1综合法）（-1)（-1)（-1)=（)（-1)（-1)===8当且仅当a=b=c时取等号，所以不等式成立.（方法2分析法）：要证（-1)（-1)（-1)≥8成立只需证≥8成立因为a+b+c=1,所以只需证≥8成立即：≥8只需证≥8成立而≥8显然成立.∴（-1)(-1)(-1）≥8成立.绿色通道：综合法是从
5、已知条件出发，经过逐步推理，最后达到特征的结论；而在分析法中，从结论出发的每一步骤所得到的判断都是使结论成立的充分条件，最后一步归结到已被证明了的事实.黑色陷阱：在证明不等式时要注意应用重要不等式和不等式的性质，要注意基本不等式应用的条件及等号成立的条件.【变式训练】已知a、b、c∈R+,求证：（ab+a+b+1)×(ab+bc+bc+c2)≥16abc.证明：综合法：方法1∵ab+a+b+1=(a+1)(b+1).ab+ac+bc+c2=(a+c)(b+c)又∵a＞0,b＞0,c＞0,∴a+1≥＞0,b+1≥＞0,a+c≥＞0,b+c≥.∴(
6、a+c)(b+c)≥,(a+1)(b+1)≥＞0.因此当a,b,c∈R+时，有(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)≥16abc,结论得证方法2分析法：要证(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)≥16abc成立，只需证：(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)≥16ab成立.由于a＞0,b＞0,c＞0.∴a+1≥,b+1≥.a+c≥b+c≥∴(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)≥···=16abc.即：(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)≥16abc成立.【例2】在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b
7、、c,且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形.思路分析：将A、B、C成等差数列，转化为符号语言就是2B=A+C；a、b、c成等比数列，转化为符号语言就是b2=ac.A、B、C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A+B+C=π,此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状.余弦定理正好满足要求，于是可以用余弦定理为工具进行证明.证明：由A、B、C成等差数列，所以有2B=A+C，因为A、B、C为△ABC的内角，所以A+B+C=π,所以B=.由a、b、c成等比
8、数列，有b2=ac.由余弦定理及b2=ac,可得：b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac.∴a2+c2-ac=ac即(a-c)2=0,因此
