高中数学 第二章 推理与证明 2_2 直接证明与间接证明 2_2_1 合情推理与演绎推理直接证明教学案 苏教版选修2-2

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1、2.2.1　直接证明[对应学生用书P26]　1．若实数a，b满足a＋b＝3，证明：2a＋2b≥4.证明：因为2a＋2b≥2＝2，又a＋b＝3，所以2a＋2b≥2＝4.故2a＋2b≥4成立．问题1：本题利用什么公式？提示：基本不等式．问题2：本题证明顺序是什么？提示：从已知到结论．2．求证：＋2<2＋.证明：要证明＋2<2＋，由于＋2>0,2＋>0，只需证明(＋2)2<(2＋)2，展开得11＋4<11＋4，只需证明6<7，显然6<7成立．所以＋2<2＋成立．问题1：本题证明从哪里开始？提示：从结论开始．问题2：证题思路是什么？提示：寻求上一步成立的充分条件．1．直接证明(1)直接从原命

2、题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明．(2)直接证明的一般形式⇒…⇒本题结论．2．综合法和分析法直接证明定义推证过程非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。综合法从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法称为综合法⇒…⇒…⇒分析法从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明方法称为分析法⇐…⇐…⇐1．综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未

3、知，由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件．它的证明格式为：因为×××，所以×××，所以×××……所以×××成立．2．分析法证明问题时，是从“未知”看“需知”，执果索因逐步靠拢“已知”，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件．它的证明格式：要证×××，只需证×××，只需证×××……因为×××成立，所以×××成立．综合法的应用[例1]　已知a，b，c∈R，且a＋b＋c＝1，求证：a2＋b2＋c2≥.[思路点拨]　从已知条件出发，结合基本不等式，即可得出结论．[精解详析]　∵a2＋≥，b2＋≥，c2＋≥，∴＋＋≥a＋b＋c＝(a＋b＋c)＝.∴a2＋b2＋c2≥.[一点通]　综合法证明

4、问题的步骤非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题思路．第二步：转化条件、组织过程，把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，有些语言可做适当的修饰，反思总结解题方

5、法的选取．1．设a，b，c为不全相等的正数，且abc＝1，求证：＋＋>＋＋.证明：∵a>0，b>0，c>0，且abc＝1，∴＋＋＝bc＋ca＋ab.又bc＋ca≥2·＝2＝2，同理bc＋ab≥2，ca＋ab≥2.∵a、b、c不全相等．∴上述三个不等式中的“＝”不能同时成立．∴2(bc＋ca＋ab)>2(＋＋)，即bc＋ca＋ab>＋＋，故＋＋>＋＋.2.(1)如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真；(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)．解：(1)证明：法一：如图，过直线b上任一点作平

6、面π的垂线n，设直线a，b，c，n的方向向量分别是a，b，c，n，则b，c，n共面．根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得c＝λb＋μn，则a·c＝a·(λb＋μn)＝λ(a·b)＋μ(a·n)，因为a⊥b，所以a·b＝0，又因为aπ，n⊥π，所以a·n＝0，非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。故a·c＝0，从而a⊥c.法二：如图，记c∩b＝A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P作PO⊥π，垂足为O，则O∈c.∵PO⊥π，aπ，∴直线PO⊥a.又a⊥b，b

7、平面PAO，PO∩b＝P，∴a⊥平面PAO.又c平面PAO，∴a⊥c.(2)逆命题为：a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥c，则a⊥b.逆命题为真命题．分析法的应用[例2]　已知a>b>0，求证：<－<.[思路点拨]　本题条件较为简单，结论比较复杂，我们可以从要证的结论入手，一步步探求结论成立的充分条件，即用分析法．[精解详析]　要证明<－<成立，只需证