高三理科数学复习资料-合情推理与演绎推理及直接证明与间接证明

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1、第十单元第4讲合情推理与演绎推理及直接证明与间接证明一．基础知识1．合情推理(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类

2、比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．2．演绎推理(1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．3．直接证明(1)综合法①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．②框图表示：→→→…→(其中P表示已知

3、条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论)．(2)分析法①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法．②框图表示：→→→…→.4．间接证明一般地，由证明p⇒q转向证明：綈q⇒r⇒…⇒t.t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判定綈q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．二.题型分析题型1.归纳推理题1.（1）已知经过计算和验证有下列正确的不等式：＋＜2，＋＜2，＋＜2，根据以上不等式的规律，请

4、写出一个对正实数m，n都成立的条件不等式________．解析　观察所给不等式可以发现：不等式左边两个根式的被开方数的和等于20，不等式的右边都是2，因此对正实数m，n都成立的条件不等式是：若m，n∈R＋，则当m＋n＝20时，有＋＜2.答案　若m，n∈R＋，则当m＋n＝20时，有＋＜2（2）如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（色括两个端点）有n(n>l，n∈N*)个点，相应的图案中总的点数记为an，则+++…+=A．B．C．D．【答案】B【解析】由图案的点数可知，所以，所以，所以+++…+，选B.（3）定义映射，

5、其中，，已知对所有的有序正整数对满足下述条件:①；②若，；③，则，．【答案】【解析】根据定义得。，，，所以根据归纳推理可知。题型2.类比推理题2.（1）在平面几何里，有“若△ABC的三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则三角形面积为S△ABC＝(a＋b＋c)r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体ABCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，则四面体的体积为________”．[审题视点]注意发现其中的规律总结出共性加以推广，或将结论类比到其他方面，得出结论．解析　三角形的面积类比为四面体的

6、体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径．二维图形中类比为三维图形中的，得V四面体ABCD＝(S1＋S2＋S3＋S4)r.答案　V四面体ABCD＝(S1＋S2＋S3＋S4)r.（2）已知命题：“若数列{an}为等差数列，且am＝a，an＝b(m＜n，m，n∈N*)，则am＋n＝”．现已知数列{bn}(bn＞0，n∈N*)为等比数列，且bm＝a，bn＝b(m＜n，m，n∈N*)，若类比上述结论，则可得到bm＋n＝________.答案　a·题型3.综合法的应用题3.设a，b，c＞0，证明：＋

7、＋≥a＋b＋c.[审题视点]用综合法证明，可考虑运用基本不等式．证明　∵a，b，c＞0，根据均值不等式，有＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c.三式相加：＋＋＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)．当且仅当a＝b＝c时取等号．即＋＋≥a＋b＋c.题型4.分析法的应用题4.已知m＞0，a，b∈R，求证：2≤.[审题视点]先去分母，合并同类项，化成积式．证明　∵m＞0，∴1＋m＞0.所以要证原不等式成立，只需证明(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，即证m(a2－2ab＋b2)≥0，即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成

8、立，故原不等式得证．题型5.反证法的应用题5.已知a，b为非零向量，且a，b不平行，求证：向量a＋b与a－b不平行．证明　假设向量a＋b与a－b平行，即存在实数λ使a＋b＝λ(a－b)成立，则(1－λ)a＋(1＋λ)b＝0，∵a，b不平行，∴得所以方程组无解，故假设不成立，故原命题成立．　　题6.设直线l1：y＝k1