合情推理与演绎推理

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1、合情推理与演绎推理　　本周题目：合情推理与演绎推理　　本周重点：了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理；了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理.　　本周难点：用归纳和类比进行推理，做出猜想；用“三段论”证明问题.　　本周内容：　　一、合情推理　　１．归纳推理　　（１）定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）.　　（２）一般模式：　　（３）一般步骤：　　①通过观察个别情况发现某些相同性质；

2、　　②从已知的相同的性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）；　　③检验猜想.　　一般地，归纳的个别情况越多，就越具有代表性，推广的一般性命题就越可靠.由于归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，即归纳推理所得的结论可真可假.　　２．类比推理　　（１）定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）.　　（２）一般模式：特殊特殊　　（３）类比的原则：可以从不

3、同的角度选择类比对象，但类比的原则是根据当前问题的需要，选择恰当的类比对象.　　（４）一般步骤：　　①找出两类对象之间的相似性或一致性；　　②用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，得出一个明确的命题（猜想）；　　③检验猜想.　　一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质越相关，那么类比得出的命题就越可靠.类比结论具有或然性，即可真可假.　　二、演绎推理　　（１）定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理，叫做演绎推理.　　（２）一般模式：一般特殊.　　（3）“三段论”是演绎推理的

4、一般模式，“三段论”式推理常用的一种格式：　　①大前提－－已知的一般原理；　　②小前提――所研究的特殊情况；　　③结论－－根据一般原理，对特殊情况作出的结论.　　（4）用集合的观点理解“三段论”　　若集合的所有元素都具有性质，是的子集，那么中所有元素都具有性质.　　三、演绎推理与合情推理的比较　　合情推理中的归纳、类比都是具有创造性的或然推理.不论是由大量的实例，经过分析、概括、发现规律的归纳，还是由两系统的已知属性，通过比较、联想而发现未知属性的类比，它们的共同点是，结论往往超出前提所控制的范围，所以它们是“开

5、拓型”或“发散型”的思维方法.也正因为结论超出了前提的管辖范围，前提也就无力保证结论必真，所以归纳类比都是或然性推理.　　演绎推理所得的结论完全蕴含于前提之中，所以它是“封闭型”或“收敛型”的思维方法.只要前提真实，逻辑形式正确，结论必然是真实的.　　总体来说，从推理的形式和推理的正确性上讲，二者有差异；从二者在认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的.合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的.演绎推理可以验证合情推理的正确性，合情推理可以为演绎推理提

6、供方向和思路.　　四、例题选讲　　例1.用推理的形式表示数列的前项和的归纳过程.　　分析：依题意，表示数列的前项和，即.为此，我们先根据该公式，算出数列的前几项，进一步得出与的关系式.　　解：对数列的前项和分别进行计算：　　，　　，　　，　　，　　.　　观察可得，数列{Sn}的前五项都等于1到相应序号的自然数之和的平方，　　由此猜想数列的前项和.　　评注：数列的通项公式揭示了项与项数的关系，为进一步归纳得出通项公式，可把项转化成具有相同的结构形式，再将其分成变化的部分与不变化的部分，只需归纳变化的部分与项数的关系

7、即可.通过归纳得到的关于数列前项和的表达式，是归纳推理的一个具体表现，虽然猜想是否正确还有待严格的证明，但这个猜想可以为我们的研究提供一种方向.　　例2．设，计算的值，同时归纳结果所具有的性质，并用验证猜想的结论是否正确.　　分析：首先分析题目的条件，并对的结果进行归纳推测，发现它们之间的共同性质，猜想出一个明确的一般性命题.　　解：　　　　　　　　　　　　　　　　，　　，　　.　　由此猜想，为任何正整数时，都是质数.　　当时，，为合数，因此猜想的结论不正确.　　评注：虽然由归纳推理所得到的结论未必是正确的，但它

8、所具有的由特殊到一般，由具体到抽象的认知功能，对于数学的发现却是十分有用的.　　例3.证明：函数的值恒为正数.　　分析：由于本题不易分解因式，可结合解析式的特点选取0,1两个值，将整个定义域分成三部分，讨论证明.　　证明：　　①当时，　　其各项均为正数，　　时，.　　②当时，　　，　　右边代数式中三项均为正数，　　.　　③当时，　　　　其右边代数式中三项均为正数，　　.