2018_2019学年高中数学第三章推理与证明2数学证明学案北师大版

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1、§2　数学证明学习目标　1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．知识点一　演绎推理的含义思考　分析下面几个推理，找出它们的共同点．(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除．答案　问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理叫演绎推理．梳理定义从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理特点由一

2、般到特殊的推理知识点二　三段论思考　所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电，这个推理可以分为几段？每一段分别是什么？答案　分为三段．大前提：所有的金属都能导电；小前提：铜是金属；结论：铜能导电．梳理一般模式常用格式大前提已知的一般原理M是P小前提所研究的特殊情况S是M结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断S是P类型一　演绎推理与三段论例1　将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的两底角

3、，则∠A＝∠B；(3)通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列．解　(1)平行四边形的对角线互相平分，大前提菱形是平行四边形，小前提菱形的对角线互相平分．结论(2)等腰三角形的两底角相等，大前提∠A，∠B是等腰三角形的两底角，小前提∠A＝∠B.结论(3)在数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列，大前提当通项公式为an＝2n＋3时，若n≥2，则an－an－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)，小前提通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列．结论反思与感

4、悟　用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．跟踪训练1　(1)推理：“①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③所以正方形是平行四边形”中的小前提是________．(填序号)(2)函数y＝2x＋5的图像是一条直线，用三段论表示为大前提：________________________

5、________________________________________________；小前提：________________________________________________________________________；结论：________________________________________________________________________.答案　(1)②(2)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图像是一条直线函数y＝2x＋5是一次函数函数y＝2x＋5的图

6、像是一条直线类型二　三段论的应用例2　如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF，写出三段论形式的演绎推理．证明　因为同位角相等，两直线平行，大前提∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提所以FD∥AE.结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DE∥BA，且FD∥AE，小前提所以四边形AFDE为平行四边形．结论因为平行四边形的对边相等，大前提ED和AF为平行四边形AFDE的对边，小前提所以ED＝AF.结论反思与感悟　(1)用“三段论”证明命题的

7、格式(2)用“三段论”证明命题的步骤①理清证明命题的一般思路；②找出每一个结论得出的原因；③把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来．跟踪训练2　已知：在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，如图所示，求证：EF∥平面BCD.证明　因为三角形的中位线平行于底边，大前提点E，F分别是AB，AD的中点，小前提所以EF∥BD.结论若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行，大前提EF平面BCD，BD平面BCD，EF∥BD，小前提所以EF∥平面BCD.结论例3　设函数f(x)＝，其中a为

8、实数，若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．解　若函数对任意实数恒有意义，则函数定义域为R，大前提因为f(x)的定义域为R，小前提所以x2＋ax＋a≠0恒成立．结论所以Δ＝a2－4a<0，所以0