2019_2020学年高中数学第3章推理与证明2数学证明学案北师大版选修

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1、§2　数学证明学习目标核心素养1.理解演绎推理的概念．(重点)2．掌握演绎推理的基本模式，并能用它们进行一些简单的推理．(重点)3．能用“三段论”证明简单的数学问题．(难点)通过对演绎推理的理解及应用，提升学生的数学抽象和逻辑推理的核心素养.1．证明(1)证明命题的依据：命题的条件和已知的定义、公理、定理．(2)证明的方法：演绎推理．2．演绎推理的主要形式演绎推理的一种形式：三段论，其推理形式如下：(1)大前提：提供了一个一般性道理．(2)小前提：研究对象的特殊情况．(3)结论：根据大前提和小前提作出的判断．[特别提醒]　运用三段论推理时，常可省略大前提或小前

2、提，对于复杂的证明，也常把前一个三段论的结论作为下一个三段论的前提．1．下面几种推理中是演绎推理的为(　　)A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B．猜想数列，，，…的通项公式为an＝(n∈N＋)C．半径为r的圆的面积S＝πr2，则单位圆的面积S＝πD．由平面直角坐标系中圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2C　[A，B为归纳推理，D为类比推理，C为演绎推理．]2．下面几种推理过程是演绎推理的是(　　)A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角

3、，则∠A＋∠B＝180°B．某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得出高三所有班级中的人数都超过50人C．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，通过计算a2，a3，a4猜想出an的通项公式A　[A是演绎推理，B，D是归纳推理，C是类比推理．]3．函数y＝2x＋5的图像是一条直线，用三段论表示为：大前提：_____________________________________________；小前提：_________________________________________

4、____；结论：_______________________________________________.[答案]　一次函数的图像是一条直线函数y＝2x＋5是一次函数函数y＝2x＋5的图像是一条直线把演绎推理写成三段论的形式【例1】　将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数；(2)三角形的内角和为180°，Rt△ABC的内角和为180°；(3)通项公式为an＝3n＋2(n≥2)的数列{an}为等差数列．思路点拨：三段论推理是演绎推理的主要模式，推理形式为“如果b⇒c，a⇒b，则a⇒c.”其中，b⇒c为

5、大前提，提供了已知的一般性原理；a⇒b为小前提，提供了一个特殊情况；a⇒c为大前提和小前提联合产生的逻辑结果．[解]　(1)一切奇数都不能被2整除．(大前提)75不能被2整除．(小前提)75是奇数．(结论)(2)三角形的内角和为180°.(大前提)Rt△ABC是三角形．(小前提)Rt△ABC的内角和为180°.(结论)(3)数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为同一常数，则{an}为等差数列．(大前提)通项公式an＝3n＋2，n≥2时，an－an－1＝3n＋2－[3(n－1)＋2]＝3(常数)．(小前提)通项公式为an＝3n＋2(n≥2)的数列{an

6、}为等差数列．(结论)把演绎推理写成“三段论”的一般方法1．用“三段论”写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中大前提提供了一个一般性原理，小前提提供了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示一般性原理与特殊情况的内在联系．2．在寻找大前提时，要保证推理的正确性，可以寻找一个使结论成立的充分条件作为大前提．1．将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的两底角，则∠A＝∠B.[解]　(1)平行四边形的对角线互相平分，(大前提)菱形是平行四边形

7、，(小前提)菱形的对角线互相平分．(结论)(2)等腰三角形的两底角相等，(大前提)∠A，∠B是等腰三角形的两底角，(小前提)∠A＝∠B.(结论)演绎推理在几何中的应用【例2】　如图所示，D，E，F分别是BC，CA，AB边上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：DE＝AF.写出“三段论”形式的演绎推理．思路点拨：用三段论的模式依次证明：(1)DF∥AE，(2)四边形AEDF为平行四边形，(3)DE＝AF.[解]　(1)同位角相等，两直线平行，(大前提)∠BFD和∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提)所以DF∥AE.(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平

8、行四边形，(大前提)DE∥BA且DF∥