2020版高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.3 导数的实际应用学案（含解析）新人教B版选修1 -1

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1、3．3.3　导数的实际应用学习目标　1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．知识点　生活中的优化问题1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．3．解决优化问题的基本思路：上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．1．生活中常见到的收益最高、用料最省等问题就是数学中的最大、最小值问题．(　√　)2．解决应用问题的关键是建立数学模型．(　√　)题型一　几何中的最值问题例1　请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切

2、去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝xcm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x应取何值？(2)若广告商要求包装盒容积V最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．考点　几何类型的优化问题题点　几何体体积的最值问题解　(1)由题意知包装盒的底面边长为xcm，高为(30－x)cm,0

3、x＝15时，等号成立，所以若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x＝15.(2)包装盒容积V＝2x2·(30－x)＝－2x3＋60x2(00，得0

4、意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．跟踪训练1　现需设计某次期中考试的数学试卷，该试卷含有大小相等的两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为720cm2，四周空白的宽度为4cm，两栏之间的中缝空白的宽度为2cm，设试卷的长和宽分别为xcm，ycm.(1)写出y关于x的函数解析式，并求该函数的定义域；(2)如何确定该试卷长与宽的尺寸(单位：cm)，才能使试卷的面积最小？考点　题点　解　由题意知试卷的长和宽分别为xcm，ycm，则每栏的长和宽分别为，y－8，其中x>10，y>8.(1)两栏面积之和为2··(y－8)＝720，由此得y＝＋8(x>10)．(2

5、)试卷的面积S＝xy＝x，∴S′＝＋8，令S′＝0，得x＝40(负数舍去)，∴函数在(10,40)上单调递减，在(40，＋∞)上单调递增，∴当x＝40时，S取得最小值，故当试卷的长为40cm，宽为32cm时，可使试卷的面积最小．题型二　实际生活中的最值问题命题角度1　利润最大问题例2　某工厂共有10台机器，生产一种仪器元件，由于受生产能力和技术水平等因素的限制，会产生一定数量的次品．根据经验知道，每台机器产生的次品数P(万件)与每台机器的日产量x(万件)(4≤x≤12)之间满足关系：P＝0.1x2－3.2lnx＋3.已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产1万

6、件次品将亏损1万元．(利润＝盈利－亏损)(1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润y(万元)表示为x的函数；(2)当每台机器的日产量x(万件)为多少时所获得的利润最大，最大利润为多少？考点　函数类型的优化问题题点　利用导数求解最大利润问题解　(1)由题意得，所获得的利润为y＝10[2(x－P)－P]＝20x－3x2＋96lnx－90(4≤x≤12)．(2)由(1)知，y′＝＝，当4≤x≤6时，y′≥0，函数在[4,6]上为增函数；当6≤x≤12时，y′≤0，函数在[6,12]上为减函数，所以当x＝6时，函数取得极大值，且为最大值，最大利润为y＝20×6－3×62＋96

7、ln6－90＝96ln6－78(万元)．反思感悟　解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有：(1)利润＝收入－成本．(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练2　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3