高中数学第1章函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像与性质第2课时函数y＝Asin（ωx＋φ）的性质学案北师大版

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1、第2课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质学习目标核心素养1.掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期、单调性及最值的求法．(重点)2．理解函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称性．(难点)1.通过求函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及最值，体会数学运算素养．2．通过理解函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称性，体会直观想象素养.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质定义域R值域[－A，A]周期T＝奇偶性φ＝kπ，k∈Z时，y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数，φ＝kπ＋，k∈Z时，y＝Asin(ωx＋φ)是偶函数对称轴方程由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z

2、)求得对称中心由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得单调性递增区间由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)求得；递减区间由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋π(k∈Z)求得思考：求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间应注意什么？[提示]　对于y＝Asin(ωx＋φ)的单调性而言，A与ω的正负影响单调性，如果ω<0，可以利用诱导公式sin(－α)＝－sinα将负号转化到函数符号外，再求相应单调区间．1．函数y＝2sin＋1的最大值是(　　)A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4C　[当2x＋＝2kπ＋时，即x＝kπ＋(k∈Z)时最大值为3.]2．函数y＝s

3、in的最小正周期是(　　)A．　　　　B．πC．2π　　　　D．4πB　[由T＝＝＝π.故选B.]3．在下列区间中，使y＝sinx为增函数的是(　　)A．[0，π]B．C．D．[π，2π]C　[因为函数y＝sinx的单调递增区间是，k∈Z，故当k＝0时，即为，故选C.]4．函数f(x)＝sin的图像的对称轴方程是_______________．x＝kπ＋，k∈Z　[由x－＝kπ＋解得x＝kπ＋，k∈Z.]函数y＝Asin(ωx＋φ)的最值问题【例1】　求下列函数的最大值、最小值，以及取得最大值、最小值时相应x的集合．(1)y＝－3sin2x；(2)f(

4、x)＝2sin－3(ω＞0)，最小正周期是π.[解]　(1)函数y＝－3sin2x，x∈R的最大值是3，最小值是－3.令z＝2x，使函数y＝－3sinz，z∈R取得最大值的z的集合是，则2x＝－＋2kπ，解得x＝－＋kπ，k∈Z.因此使函数y＝－3sin2x，x∈R取得最大值的x的集合是.同理，使函数y＝－3sin2x，x∈R取得最小值的x的集合是.(2)由T＝＝π，得ω＝2，所以f(x)＝2sin－3，则函数f(x)的最大值为2－3＝－1，此时2x＋＝2kπ＋，k∈Z，则x＝kπ＋，k∈Z，即自变量x的取值集合是；函数f(x)的最小值为－2－3＝－5

5、，此时2x＋＝2kπ－，k∈Z，则x＝kπ－，k∈Z，即自变量x的取值集合是.求函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[m，n]的值域的步骤：(1)换元，u＝ωx＋φ，并求u的取值范围；(2)作出y＝sinu(注意u的取值范围)的图像；(3)结合图像求出值域.1．求函数y＝2sin的最大值和最小值．[解]　∵－≤x≤，∴0≤2x＋≤，∴0≤sin≤1.∴当sin＝1时，ymax＝2；当sin＝0时，ymin＝0.函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调性【例2】　求函数y＝2sin的递增区间．[解]　∵y＝2sin＝－2sin，∴函数y＝2sin的递增区间就是

6、函数u＝－2sin的递减区间．∴2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)．得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，∴函数y＝2sin的递增区间为：(k∈Z)．1．由已知条件确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式时，应注意利用函数的性质确定它的参数．2．求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，常视ωx＋φ为一个整体，通过y＝sinx的单调区间，求得函数的单调区间．当x的系数为负时，可用诱导公式将其化为正，再求单调区间．2．求函数y＝tan的单调区间．[解]　y＝tan＝－tan，由kπ－＜x－＜kπ＋(k∈Z)，得2kπ－＜x＜2kπ＋(k∈Z)，∴函数y＝ta

7、n的单调递减区间是(k∈Z)，无单调递增区间．函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用[探究问题]1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心和对称轴各有什么特点？[提示]　对称中心为图像与x轴的交点；对称轴为过其图像最高点或最低点与x轴垂直的直线．2．已知f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω是常数，且ω>0)，若f(x)是偶函数，则φ等于什么？若f(x)是奇函数，则φ等于什么？[提示]　f(x)是偶函数⇒f(0)＝±1⇒φ＝＋kπ，k∈Z，f(x)是奇函数⇒f(0)＝0⇒φ＝kπ，k∈Z.3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像关于点(x0,0)成中心对称

8、意味着什么？[提示]　意味着图像过点(x0,0)，即Asin(ωx0＋φ)＝0.【例3】　已知