（江苏专用）高考数学一轮复习考点34数学归纳法必刷题（含解析）

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1、考点34数学归纳法1．（2019·江苏高三高考模拟）已知数列，，且对任意n恒成立．（1）求证：(n)；（2）求证：(n)．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）①当时，满足成立.②假设当时，结论成立.即：成立下证：当时，成立。因为即：当时，成立由①、②可知，(n)成立。（2）（ⅰ）当时，成立，当时，成立，（ⅱ）假设时（），结论正确，即：成立下证：当时，成立.因为要证，只需证只需证：，只需证：即证：（）记当时，所以在上递增，又所以，当时，恒成立。即：当时，成立。即：当时，恒成立.所以当，恒成立.由（ⅰ）（

2、ⅱ）可得：对任意的正整数，不等式恒成立，命题得证.2．（2019·江苏高三高考模拟）已知数列是各项都不为0的无穷数列，对任意的n≥3，n，恒成立．（1）如果，，成等差数列，求实数的值；（2）已知＝1．①求证：数列是等差数列；②已知数列中，．数列是公比为q的等比数列，满足，，(i)．求证：q是整数，且数列中的任意一项都是数列中的项．【答案】（1）（2）①见解析②见解析【解析】（1）由题可得：当时，两边同除以，可得：因为，，成等差数列，所以所以，解得：（2）①由题可得：当时，…（Ⅰ）用代上式中的，可得：…（Ⅱ）（Ⅱ

3、）（Ⅰ）得：上式两边同除以可得：整理得：整理得：（ⅰ）由（1）得，当时，，，成等差数列，结论正确.（ⅱ）假设时，结论正确。即：成等差数列，且公差为下证时，成等差数列.即证又.所以成立.由（ⅰ）（ⅱ）可得：对任意的，数列是等差数列.②由①得：数列是等差数列，公差为所以，（）又，，成等比数列，所以，即：整理得：所以，所以是整数数列中的任意一项令，则整理得：，整理得：又所以解得：即：存在，使得：成立所以数列中的任意一项都是数列中的项．3．（2019·江苏高三高考模拟）在教材中，我们已研究出如下结论：平面内条直线最多可

4、将平面分成个部分．现探究：空间内个平面最多可将空间分成多少个部分，．设空间内个平面最多可将空间分成个部分．（1）求的值；（2）用数学归纳法证明此结论．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】(1)由得解得(2)用数学归纳法证明①当时，显然成立②假设当时成立，即那么当时，在个平面的基础上再添上第个平面因为它和前个平面都相交，所以可得到条互不平行且不共点的交线，且其中任何条直线不共点，这条交线可以把第个平面划分成个部分；每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域，因此，空间区域的总数增加了个，所以即时，结论成立根据

5、①②可知，4．（2019·江苏高三高考模拟）已知均为非负实数，且．证明：（1）当时，；（2）对于任意的，．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用证明即可；（2）运用数学归纳法证明即可【详解】（1）当时，因为，，…，均为非负实数，且，所以．（2）①当时，由（1）可知，命题成立；②假设当时，命题成立，即对于任意的，若，，…，均为非负实数，且，则．则当时，设，并不妨设．令，则．由归纳假设，知．因为均为非负实数，且，所以．所以，即，也就是说，当时命题也成立．所以，由①②可知，对于任意的，．5．（2

6、019·江苏高三高考模拟）已知数列满足，，．（1）用数学归纳法证明：；（2）令，证明：．【答案】(1)详见解析(2)详见解析【解析】（1）证明：当时，，结论显然成立；假设当时，，则当时，，综上，.（2）由（1）知，，所以.因为，所以，即，于是，所以，故构成以2为公比的等比数列，其首项为.于是，从而，所以，即，于是，因为当时，，当时，，所以对，有，所以，所以，从而.6．（2018·江苏高三高考模拟）在含有个元素的集合中，若这个元素的一个排列（，，…，）满足，则称这个排列为集合的一个错位排列（例如：对于集合，排列是

7、的一个错位排列；排列不是的一个错位排列）.记集合的所有错位排列的个数为.（1）直接写出，，，的值；（2）当时，试用，表示，并说明理由；（3）试用数学归纳法证明：为奇数.【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析【解析】试题分析：（1）根据定义列错位排列，根据错位排列的个数得，，，的值；（2）根据定义理解，，三者关系，需先确定两类，有两个数恰好错排与这两个数不错排，再降数处理，（3）先根据递推关系得对任意正奇数，有均为偶数，再利用以及归纳假设得结论.试题解析：（1），，，，（2），理由如下：对的元素的一个错位排列

8、（，，…，），若，分以下两类：若，这种排列是个元素的错位排列，共有个；若，这种错位排列就是将，，…，，，…，排列到第到第个位置上，不在第个位置，其他元素也不在原先的位置，这种排列相当于个元素的错位排列，共有个；根据的不同的取值，由加法原理得到；（3）根据（2）的递推关系及（1）的结论，均为自然数；当，且为奇数时，为偶数，从而为偶数，又也是偶数，故对任意正奇数，有均为偶数.下面用数学归纳