2020届高考数学一轮复习考点39数学归纳法必刷题理（含解析）

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1、考点39数学归纳法1．（甘肃省静宁县第一中学2019届高三上学期第三次模拟考试数学理）用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当n=k时，等式左端=1+2+…+k2，当n=k+1时，等式左端=1+2+…+k2+k2+1+k2+2+…+（k+1）2，增加了项（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2．故选：C．2．（河南省豫南九校2017-2018学年下学期高二第二次联考理）用数学归纳法证明不等式“”时的过程中，由到，不等式的左边增加的项为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，不等式为；当时，不等式为，

2、即，比较可得增加的项为．故选C．3．（安徽省马鞍山市2019届高三高考一模理）已知正项数列的前项和为，数列的前项积为，若，则数列中最接近2019的是第______项【答案】45【解析】，可得，且；则，即，，即，两式相除得：，则，由，解得；由，解得；猜想，用数学归纳法证明，当时，，满足，假设当时，猜想成立，即，则当时，，满足，故猜想成立，即.，时，，当，不满足，故，由，当时，，当时，，当时，．综上可得数列中最接近2019的是第45项．故答案为：45．4．（湖北省武汉市2019届高中毕业生二月调研测试理）已知正项数列满足，前项和满足，则数列的通项公式为_________

3、_____．【答案】【解析】当时，；当时，；当时，；当时，，猜想得，故，下面用数学归纳法证明：①，满足，②假设时，结论成立，即，可得，则，，也满足，结合①②可知，，故答案为．5．（吉林省长春市2019届高三质量监测（四)数学理）已知数列满足：，点在直线上.（1）求，，的值，并猜想数列的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想.【答案】（Ⅰ）;.（Ⅱ）见解析.【解析】解：（Ⅰ）因为点在直线上所以，因为，故，，，由上述结果，猜想：.（Ⅱ），当时，成立，，假设当时，成立，那么，当时，成立，由，可得.6．（江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查二）已知数列，，

4、且对任意n恒成立．（1）求证：(n)；（2）求证：(n)．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）①当时，满足成立.②假设当时，结论成立.即：成立下证：当时，成立。因为即：当时，成立由①、②可知，(n)成立。（2）（ⅰ）当时，成立，当时，成立，（ⅱ）假设时（），结论正确，即：成立下证：当时，成立.因为要证，只需证只需证：，只需证：即证：（）记当时，所以在上递增，又所以，当时，恒成立。即：当时，成立。即：当时，恒成立.所以当，恒成立.由（ⅰ）（ⅱ）可得：对任意的正整数，不等式恒成立，命题得证.7．（江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查二）已知数列是各项都

5、不为0的无穷数列，对任意的n≥3，n，恒成立．（1）如果，，成等差数列，求实数的值；（2）已知＝1．①求证：数列是等差数列；②已知数列中，．数列是公比为q的等比数列，满足，，(i)．求证：q是整数，且数列中的任意一项都是数列中的项．【答案】（1）（2）①见解析②见解析【解析】（1）由题可得：当时，两边同除以，可得：因为，，成等差数列，所以所以，解得：（2）①由题可得：当时，…（Ⅰ）用代上式中的，可得：…（Ⅱ）（Ⅱ）（Ⅰ）得：上式两边同除以可得：整理得：整理得：（ⅰ）由（1）得，当时，，，成等差数列，结论正确.（ⅱ）假设时，结论正确。即：成等差数列，且公差为下证时，成

6、等差数列.即证又.所以成立.由（ⅰ）（ⅱ）可得：对任意的，数列是等差数列.②由①得：数列是等差数列，公差为所以，（）又，，成等比数列，所以，即：整理得：所以，所以是整数数列中的任意一项令，则整理得：，整理得：又所以解得：即：存在，使得：成立所以数列中的任意一项都是数列中的项．8．（江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考数学理）已知函数，．（Ⅰ）若在上存在极大值点，求实数的取值范围；（Ⅱ）求证：，其中．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见证明【解析】解：（Ⅰ）由于，则①当时，，即当时，，单调递增；当时，，单调递减；故在处取得极大值，则，解得：；②当时，恒成立，无极值，不合题意舍

7、去；③当时，，即当时，，单调递减；当时，，单调递增；故在处取得极小值，不合题意舍去；因此当时，在上存在极大值点；（Ⅱ）法一：令，，由（Ⅰ）得：在处取得极大值1，且该极值是唯一的，则，即，当且仅当时取“=”，故当时，，因此．法二：下面用数学归纳法证明：，对恒成立．（1）当时，左边，右边，左边右边，结论成立；（2）假设当时，结论成立，即，当时，左边，而，令，，由（Ⅰ）得：在处取得极大值1，且该极值是唯一的，则，即，当且仅当时取“=”，则对恒成立，即成立故当时，结论成立，因此，综合（1）（2）得，对恒成立9．（广东省江门市2018年普通高中高三调研测试理）已知数列的前