2020版高考数学一轮复习课后限时集训48直线与椭圆的位置关系理北师大版

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1、课后限时集训(四十八)　直线与椭圆的位置关系(建议用时：60分钟)A组　基础达标一、选择题1．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是(　　)A．(1，＋∞)　　　　　　　B．(1,3)∪(3，＋∞)C．(3，＋∞)D．(0,3)∪(3，＋∞)B　[由得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0，由题意可知解得又m＞0，且m≠3，∴m＞1且m≠3.故选B．]2．中心为(0,0)，一个焦点为F(0,5)的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆的方程是(　　)A.＋＝1B．＋＝1C.＋＝1D．＋＝1C

2、　[由题意可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，则a2－b2＝50.(*)设直线y＝3x－2与椭圆的两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知①－②得＋＝0，又由题意可知，弦中点的坐标为，故x1＋x2＝1，y1＋y2＝－1.又kAB＝＝3，故＋＝0，∴a2＝3b2，结合(*)得a2＝75，b2＝25，即该椭圆的方程为＋＝1，故选C.]3．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　　)

3、A.B．C.D．A　[由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d＝＝a，解得a＝b，∴＝，∴e＝＝＝＝＝.故选A.]4．(2018·石家庄二模)倾斜角为的直线经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F，与椭圆交于A，B两点，且＝2，则该椭圆的离心率为(　　)A.B．C.D．B　[由题意可知，直线的方程为y＝x－c，与椭圆方程联立得∴(b2＋a2)y2＋2b2cy－b4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ＞0.设A(x1，y1)，B(

4、x2，y2)，则又＝2，∴(c－x1，－y1)＝2(x2－c，y2)，∴－y1＝2y2，可得∴＝，∴e＝，故选B．]5.(2019·合肥模拟)如图，椭圆＋＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，交y轴于点H.若F1，H是线段MN的三等分点，则△F2MN的周长为(　　)A．20B．10C．2D．4D　[由F1，H是线段MN的三等分点，得H是F1N的中点，又F1(－c,0)，∴点N的横坐标为c，联立方程，得得N，∴H，M.把点M的坐标代入椭圆方程得＋＝1，化简得c2＝，又c2＝a2－4

5、，∴＝a2－4，解得a2＝5，∴a＝.由椭圆的定义知

6、NF2

7、＋

8、NF1

9、＝

10、MF2

11、＋

12、MF1

13、＝2a，∴△F2MN的周长为

14、NF2

15、＋

16、MF2

17、＋

18、MN

19、＝

20、NF2

21、＋

22、MF2

23、＋

24、NF1

25、＋

26、MF1

27、＝4a＝4，故选D．]二、填空题6．过椭圆C：＋＝1的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A，B两点，则＋等于________．　[由题意可知F(－1,0)，故l的方程为y＝(x＋1)．由得5x2＋8x＝0，∴x＝0或－.∴A(0，)，B.又F(－1,0)，∴

28、AF

29、＝2，

30、BF

31、＝，∴＋＝.]7．已知椭圆

32、C：9x2＋y2＝m2(m＞0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，则直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为________．－9　[设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将y＝kx＋b代入9x2＋y2＝m2，得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，得xM＝＝－，yM＝kxM＋b＝，故直线OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·k＝－9，所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为－9.]8．(2018·铜川一模)已知椭圆

33、＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆交于点A，B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是________．3　[如图，设椭圆的右焦点为E，连接AE，BE.由椭圆的定义得，△FAB的周长为

34、AB

35、＋

36、AF

37、＋

38、BF

39、＝

40、AB

41、＋(2a－

42、AE

43、)＋(2a－

44、BE

45、)＝4a＋

46、AB

47、－

48、AE

49、－

50、BE

51、.∵

52、AE

53、＋

54、BE

55、≥

56、AB

57、，∴

58、AB

59、－

60、AE

61、－

62、BE

63、≤0，∴

64、AB

65、＋

66、AF

67、＋

68、BF

69、＝4a＋

70、AB

71、－

72、AE

73、－

74、BE

75、≤4a.当直线AB过点E时取等号，此时直线x＝m＝c＝1，把x＝1代入椭圆＋＝1得y

76、＝±，∴

77、AB

78、＝3.∴当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是×3×

79、EF

80、＝×3×2＝3.]三、解答题9.如图，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为A，B，且

81、AB

82、＝

83、BF

84、.(1)求椭圆C的离心率；(2)若斜率为2的直线l过点(0,2)，且l交椭圆C于P，Q两点，OP⊥OQ，求直线l的方程及椭圆C的方程．[解]